[论文解读] Structure and asymptotics for Catalan numbers modulo primes using automata

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文使用 Rowland 和 Yassawi 的自动机方法分析素数模下的卡塔兰数，表明对于所有素数 p，满足 Cₙ ≡ 0 mod p 的索引 n 的渐近密度为 1。本文证明当 n = pᵏ − 1 时，Cₙ ≡ −1 mod p，并利用 p 进自动机中的状态转移，证明当 n ≡ d mod p 且 d ∈ { (p+1)/2, ..., p−2 } 时，p 整除 Cₙ，由此推导出结构与密度结果。

ABSTRACT

Let $C_n$ be the $n$th Catalan number. We show that the asymptotic density of the set $\{n: C_n \equiv 0 \mod p \}$ is $1$ for all primes $p$, We also show that if $n = p^k -1$ then $C_n \equiv -1 \mod p$. Finally we show that if $n \equiv \{ \frac{p+1}{2}, \frac{p+3}{2}, ..., p-2 \} \mod p$ then $p$ divides $C_n$. All results are obtained using the automata method of Rowland and Yassawi.

研究动机与目标

• 使用有限自动机刻画卡塔兰数模素数的分布。
• 确定满足 Cₙ ≡ 0 mod p 的索引 n 的渐近密度。
• 识别决定 Cₙ 被 p 整除的 n 的 p 进制数字展开中的结构模式。
• 利用基于自动机的计算，将已知的卡塔兰数可除性结果推广至所有素数 p ≥ 5。

提出的方法

• 采用 Rowland 和 Yassawi 的自动机方法，通过由多项式转移定义的有限状态机对 Cₙ mod p 进行建模。
• 使用 Cartier 算子 Λ_{d,d} 从自动机状态的多项式表示中计算状态转移。
• 将每个状态表示为模 p 下关于 x 和 y 的二元多项式，初始状态为 R(x,y) = y(1 − 2xy − 2xy²)。
• 通过计算 Λ_{d,d}(s * Q^{p−1}) 对每个数字 d ∈ {0, ..., p−1} 得到转移，其中 Q(x,y) = x(y+1)² − 1。
• 分析状态图以识别环状状态、零状态以及 p 进制展开中的禁止数字模式。
• 利用 Cartier 算子的线性性质，从已知的基例推导出常数值状态的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意素数 p，集合 {n : Cₙ ≡ 0 mod p} 的渐近密度是多少？
• RQ2 在 n 的 p 进制数字模式中，哪些模式使得 p 整除 Cₙ？
• RQ3 当 n = pᵏ − 1 时，Cₙ mod p 的值是多少？
• RQ4 自动机框架能否用于推导卡塔兰数模素数的一般可除性规则？

主要发现

• 对于所有素数 p，{n : Cₙ ≡ 0 mod p} 的渐近密度为 1，意味着几乎所有卡塔兰数都能被 p 整除。
• 若 n ≡ d mod p 且 d ∈ {(p+1)/2, (p+3)/2, ..., p−2}，则 p 整除 Cₙ。
• 当 n = pᵏ − 1 时，Cₙ ≡ −1 mod p，推广了对 p = 2 的已知结果。
• 自动机中的零状态是环状状态，因此一旦进入，自动机将始终保持在零状态，这意味着对所有此类 n，有 Cₙ ≡ 0 mod p。
• 在 p 进制表示中不包含数字 {(p+1)/2, ..., p−2} 的数的集合具有渐近密度 0，这解释了为何对几乎所有 n 都有 Cₙ ≡ 0 mod p。
• Cₙ mod p 的自动机最多包含 p+3 个状态，其中始终存在三个固定多项式：y(1−2xy−2xy²)、2xy(y+1) 和 −(y+1)。