[论文解读] Submodularity on a tree: Unifying $L^ atural$-convex and bisubmodular functions

Vladimir Kolmogorov|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文引入了一类称为强树次模函数的新函数类，其定义在根二叉树节点构成的变量域上，基于树结构导出特定运算 $\nabla$ 和 $\nabla$。作者提出一种结合Murota的 $L^{\natural}$-凸函数最速下降法与双次模最小化技术的多项式时间算法，证明该类函数的最小化是可 tractable 的，从而统一并推广了 $L^{\natural}$-凸函数与双次模函数。

ABSTRACT

We introduce a new class of functions that can be minimized in polynomial time in the value oracle model. These are functions $f$ satisfying $f(x)+f(y)\ge f(x \sqcap y)+f(x \sqcup y)$ where the domain of each variable $x_i$ corresponds to nodes of a rooted binary tree, and operations $\sqcap,\sqcup$ are defined with respect to this tree. Special cases include previously studied $L^ atural$-convex and bisubmodular functions, which can be obtained with particular choices of trees. We present a polynomial-time algorithm for minimizing functions in the new class. It combines Murota's steepest descent algorithm for $L^ atural$-convex functions with bisubmodular minimization algorithms.

研究动机与目标

• 通过使用树形结构域，将 $L^{\natural}$-凸函数与双次模函数统一于同一框架之下。
• 基于根二叉树上变量的标签，定义一类新函数——强树次模函数，其依赖于运算 $\nabla$ 与 $\nabla$。
• 在值 oracle 模型下，提出一种针对此类函数最小化的多项式时间算法。
• 通过将操作范围从格与链扩展，推广现有离散函数的可 tractable 类别。

提出的方法

• 为每个变量的域定义一棵根二叉树，以节点作为标签，并基于祖先关系建立偏序。
• 利用两点间路径定义分量运算 $\nabla$ 与 $\nabla$：$\nabla$ 和 $\nabla$ 是 $a$ 与 $b$ 路径上的两个中间节点（或其下取整/上取整），其中 $\nabla$ 为祖先节点。
• 提出强树次模性条件：对所有 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$，有 $f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y}) \geq f(\mathbf{x} \nabla \mathbf{y}) + f(\mathbf{x} \nabla \mathbf{y})$。
• 改编 Murota 的 $L^\natural$-凸函数最速下降算法，并将其与双次模最小化技术相结合。
• 证明所提出的算法可在 $n$ 与 $\max_i |D_i|$ 的多项式时间内最小化强树次模函数。
• 通过使用交（$\wedge$）与并（$\vee$）运算，将框架扩展至弱树次模函数，并证明在特定树结构（如图1(d)所示）下具有可 tractable 性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过树形结构域与运算，将 $L^\natural$-凸函数与双次模函数统一于同一框架？
• RQ2 是否存在一种多项式时间算法，用于在根二叉树上最小化满足强树次模性条件的函数？
• RQ3 当底层树为非二叉树（即节点有三个或更多子节点）时，强树次模函数的最小化复杂度如何？
• RQ4 除链与钻石形树（图1(c)）之外，是否存在其他树结构，使得弱树次模函数可高效最小化？
• RQ5 能否对基于格、树及其组合导出的运算，刻画其最小化的可 tractable 性？

主要发现

• 强树次模函数类同时推广了 $L^\natural$-凸函数与双次模函数：前者源于链状树结构，后者源于特定三节点树。
• 提出一种针对强树次模函数最小化的多项式时间算法，结合了 Murota 的最速下降法与双次模最小化技术。
• 该算法在 $n$ 与 $\max_i |D_i|$ 的多项式时间内运行，确立了新类别的可 tractable 性。
• 论文证明强树次模性蕴含弱树次模性，从而支持术语的合理性。
• 对于弱树次模函数，证明了在一种新树结构（图1(d)）下具有可 tractable 性：每个节点具有一个根与两个深度为 $K$ 的叶节点，通过提升至带符号环族实现。
• 该框架表明，可 tractable 最小化可能可扩展至其他树与格基运算，但完整刻画仍有待完成。