[论文解读] Surface defects and instanton partition functions

Davide Gaiotto, Hee‐Cheol Kim|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用 5

一句话总结

本文提出了一种通用方法，用于计算在共维数二半局域BPS表面缺陷存在下，5d超共形场论与具有八种超电荷的4d ${\cal N}=2$规范理论中的瞬子划分函数。通过从更大理论经由重整化群流实现的弦子构造，作者推导出一种计算框架，结合等变局部化与规范线性sigma模型（GLSM）技术，实现了缺陷扩展划分函数的精确结果，并通过显式留数计算验证了对偶性。

ABSTRACT

We study the superconformal index of five-dimensional SCFTs and the sphere partition function of four-dimensional gauge theories with eight supercharges in the presence of co-dimension two half-BPS defects. We derive a prescription which is valid for defects which can be given a "vortex construction", i.e. can be defined by RG flow from vortex configurations in a larger theory. We test the prescription against known results and expected dualities. We employ our prescription to develop a general computational strategy for defects defined by coupling the bulk degrees of freedom to a Gauged Linear Sigma Model living in co-dimension two.

研究动机与目标

• 开发一种通用计算框架，用于计算具有共维数二半局域BPS表面缺陷的5d与4d ${\cal N}=2$理论中的瞬子划分函数。
• 将此前仅用于4d ${\cal N}=2$理论中缺陷的弦子构造方法，扩展至具有八种超电荷的5d超共形场论。
• 通过在共维数二处耦合体规范理论与2d规范线性sigma模型（GLSM），统一缺陷贡献，实现对丰富划分函数的系统性计算。
• 通过已知结果与预期对偶性（包括AGT类关系与Seiberg-Witten曲线结构）验证该方法的一致性。

提出的方法

• 作者采用从UV理论 $T'$ 出发的弦子构造，其中缺陷源于 $T'$ 中位置依赖的标量真空期望值（vortex profile）。
• 通过结合微扰1-loop因子与在 $S^4$ 的南北极处的瞬子贡献，利用等变局部化，推导出计算瞬子划分函数的公式。
• 该方法涉及使用包含 $a_i$, $\phi_I$, $\epsilon_1$, $\epsilon_2$, 以及 $\epsilon_+ = (\epsilon_1 + \epsilon_2)/2$ 的特征公式，计算瞬子模空间上切丛的等变指标。
• 划分函数表示为对应于杨图配置的极点处的留数之和，极点位于 $\phi(m,n) = a_i + \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2$。
• 完整划分函数被构作为 $k$-瞬子贡献的和，每一项通过 $\phi_I$ 变量上的留数积分表示，采用JK留数公式或单位圆周积分路径。
• 对于基础超多重态，被积函数中额外加入因子 $\prod_{I,a} 2\sinh\left(\frac{\phi_I + m_a}{2}\right)$，以修正瞬子贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将瞬子划分函数推广至包含5d ${\cal N}=1$ 与4d ${\cal N}=2$ 理论中具有八种超电荷的共维数二半局域BPS表面缺陷？
• RQ2 能否利用UV理论 $T'$ 中的弦子构造，在IR理论 $T$ 中定义并计算缺陷划分函数？
• RQ3 缺陷修正的瞬子模空间的精确数学结构是什么？它如何影响等变指标的计算？
• RQ4 所得划分函数如何与已知对偶性及AGT或Seiberg-Witten理论中的现有结果一致？
• RQ5 在共维数二处的GLSM构造能否与体规范理论一致耦合，以获得可计算且物理上有意义的划分函数？

主要发现

• 本文推导出 $U(N)$ 规范理论在具有 $N_f$ 个基础超多重态时的5d Nekrasov瞬子划分函数的精确表达式，表示为杨图配置的和：$Z_{k} = \sum_{\sum k_i = k} Z_{\vec{Y}}(a_i, m_a; \epsilon_1, \epsilon_2)$。
• $k$-瞬子贡献 $Z_k$ 通过 $\phi_I$ 变量上的留数积分计算，极点位于 $\phi(m,n) = a_i + \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2$，对应于杨图中方块的位置。
• 每个极点处的留数给出闭式表达式：$Z_{\vec{Y}} = \prod_{i=1}^{N} \prod_{(m,n) \in Y_i} \frac{\prod_a \sinh\left(\frac{\phi(m,n) + m_a}{2}\right)}{\prod_{j} 4 \sinh\left(\frac{E_{ij}(m,n)}{2}\right) \sinh\left(\frac{E_{ij}(m,n) - 2\epsilon_+}{2}\right)}$，其中 $E_{ij}(m,n) = a_i - a_j - \epsilon_1 h_i(m,n) + \epsilon_2 (v_j(m,n) + 1)$。
• 微扰贡献为 $Z_{\rm pert} = \prod_{m,n=0}^{\infty} \frac{\prod_{i,j} 2\sinh'\left(\frac{a_{ij} - m\epsilon_1 - n\epsilon_2}{2}\right)}{\prod_{i,a} 2\sinh\left(\frac{a_i + m_a - \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2}{2}\right)}$，其中 $\sinh(0)$ 项被省略。
• 完整划分函数为 $Z_{\rm inst}^{U(N)} = \sum_{k=0}^{\infty} \lambda^k Z_k$，其中 $Z_k$ 通过留数积分计算，且该方法与已知对偶性及AGT类关系一致。