[论文解读] Symmetry Groups of Principal Bundles Over Non-Compact Bases

Jakob Schuett|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在紧支集主丛的丛自同构群 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 及其子群——规范群 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 上建立了严格的无穷维李群结构，适用于 $\sigma$-紧致、有限维且非紧致底空间的主 $G$-丛。通过引入新性质 $\text{SUB}_{\oplus}$，将 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 构造为 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 对 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ 的一个开子群的非交换李群扩张，确保规范群可通过映射群的弱直积继承李群结构。

ABSTRACT

In this work, we describe how to obtain the structure of an infinite-dimensional Lie group on the group of compactly carried bundle automorphisms Autc(P) for a locally convex prinicpal bundle P over a finite-dimensional smooth sigma-compact base M. This is a generalization of previous work by Wockel, where the base M was compact. We first consider the Lie group structure on the group of compactly carried vertical bundle morphisms Gauc(P) (in both cases "compactly carried" refers to being compactly carried on the base in a certain sense). We then introduce the Lie group structure on Autc(P) as an extension of a certain open Lie subgroup of the compactly carried diffeomorphisms Diffc(M) by the gauge group Gauc(P). We find an explicit condition on P ensuring that Gauc(P) can be equipped with a Lie group structure enabling the extension just mentioned and show that this condition is satisfied by selected classes of bundles.

研究动机与目标

• 为非紧致底空间上的主丛，定义其紧支集丛自同构群 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 的自然无穷维李群结构。
• 证明规范群 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 可实现为映射群到结构群 $G$ 的弱直积的闭子群。
• 建立 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 作为 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ 的一个开子群对 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 的非交换李群扩张，确保与光滑结构的相容性。
• 引入并验证 $\text{SUB}_{\oplus}$ 性质，作为弱直积的闭子群继承李群结构的充分条件。
• 证明 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 的李群结构独立于局部平凡化系统与单位分解的选择，确保一致性。

提出的方法

• 将 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 建模为直和 $\bigoplus_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, \mathfrak{g})$，其中 $\overline{V}_i$ 为相对紧致、局部有限的平凡化集。
• 将 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 表示为弱直积 $\prod^{\ast}_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, G)$ 的闭子群，从而可应用无穷维微积分。
• 引入 $\text{SUB}_{\oplus}$ 性质，作为 $\text{SUB}$ 性质在无穷维直和中的推广，以确保闭子群存在子流形坐标图。
• 通过定义涉及 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ 对 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 作用的光滑因子系统，将 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 构造为李群扩张。
• 利用李群坐标图与局部平凡化的提升，定义映射空间与自同构群上的全局坐标图。
• 通过涉及过渡函数与平凡化系统中参数光滑依赖性的显式公式，证明过渡映射的光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非紧致底空间上的主丛的规范群 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 赋予一致的无穷维李群结构？
• RQ2 在何种条件下，弱直积映射群的闭子群可继承李群结构？
• RQ3 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$——即紧支集丛自同构群——是否可通过 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ 对 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 的扩张，自然地扩展为李群结构？
• RQ4 局部平凡化系统与单位分解的选择如何影响 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 上的李群结构？
• RQ5 能否通过局部数据与过渡函数验证 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 上群运算的光滑性？

主要发现

• 规范群 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 作为群同构于弱直积 $\prod^{\ast}_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, G)$ 的闭子群，为其李群结构提供了具体模型。
• $\text{SUB}_{\oplus}$ 性质被引入并证明为确保弱直积中李群闭子群在无穷维情形下继承李群结构的充分条件。
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 允许唯一的李群结构，使其成为 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ 的一个开子群对 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ 的非交换扩张，且通过显式过渡公式验证了光滑因子系统。
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 上的李群结构在同构意义下独立于平凡化系统与单位分解的选择，确保了结构的一致性。
• 在不同平凡化系统之间，$\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 上的恒等映射是光滑的，证实了该构造的鲁棒性。
• 本文提供了 $\text{SUB}_{\oplus}$ 性质成立的显式条件，包括对 $\sigma$-紧致流形上许多标准主丛类均成立。