[论文解读] Teichmuller spaces, ergodic theory and global Torelli theorem

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文通过利用 Bogomolov-Beauville-Fujiki 型式与周期映射，建立了双Kähler流形的 Teichmüller 空间上映射类群作用的遍历性。该遍历性表明双Kähler流形永远不是 Kobayashi 双全纯的，并为辛打包与全纯支配性带来了新洞见，其应用涵盖全局 Torelli 定理与模形式理论。

ABSTRACT

A Teichmüller space $Teich$ is a quotient of the space of all complex structures on a given manifold $M$ by the connected components of the group of diffeomorphisms. The mapping class group $Γ$ of $M$ is the group of connected components of the diffeomorphism group. The moduli problems can be understood as statements about the $Γ$-action on $Teich$. I will describe the mapping class group and the Teichmuller space for a hyperkahler manifold. It turns out that this action is ergodic. We use the ergodicity to show that a hyperkahler manifold is never Kobayashi hyperbolic. This is my ICM submission, with review of some of my work on Teichmuller spaces and moduli; proofs are sketched, new observations and some open problems added.

研究动机与目标

• 理解双Kähler流形的 Teichmüller 空间与映射类群作用的结构。
• 建立双Kähler流形的 Teichmüller 空间上单值群作用的遍历性。
• 利用遍历性证明双Kähler流形不是 Kobayashi 双全纯的。
• 探讨遍历性对全纯辛打包与复空间支配性的含义。
• 通过周期映射与遍历性技术，将全局 Torelli 定理推广至双Kähler流形。

提出的方法

• 将 Teichmüller 空间定义为双Kähler流形上与凯勒结构相容的复结构空间关于同伦群（Diff₀）的商空间。
• 利用周期映射将每个复结构与上同调中的 Hodge 分解相关联，该关联在 Diff₀ 作用下不变。
• 借助 Bogomolov-Beauville-Fujiki 型式分析 Teichmüller 空间及其映射类群作用的几何性质。
• 应用遍历论结果，证明映射类群在 Teichmüller 空间上的作用是遍历的。
• 利用辛体积的下半连续性与遍历不变性，研究全纯辛打包及辛浸入的半径上确界。
• 将遍历性与 Brody 曲线的不存在性以及高维中支配映射下 Brody 引理的失效联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射类群在双Kähler流形的 Teichmüller 空间上的作用是否是遍历的？
• RQ2 遍历性能否用于证明双Kähler流形不是 Kobayashi 双全纯的？
• RQ3 双Kähler流形的全纯辛打包受到何种限制？体积界是否为唯一约束？
• RQ4 每个紧致双Kähler流形是否都能通过全纯辛同胚被 ℂⁿ 支配？
• RQ5 遍历性如何约束辛浸入到双Kähler流形中的半径上确界？

主要发现

• 双Kähler流形的 Teichmüller 空间上，映射类群的作用是遍历的。
• 作为推论，双Kähler流形不是 Kobayashi 双全纯的，因为遍历复结构允许存在整函数曲线。
• 双Kähler流形的 Teichmüller 空间是复流形，其局部同构于 Kuranishi 空间，这是由 Bogomolov-Tian-Todorov 定理所保证的。
• 周期映射在 Teichmüller 空间上有定义，并通过商空间模 Diff₀ 因子化，保持 Hodge 结构。
• 全纯辛打包可能的半径集合是下半连续的，且在遍历复结构上保持不变。
• 对于 K3 曲面，辛浸入的半径上确界可能为有限或无限，具体取决于结构，但一般情况下仍未知。