[论文解读] The character map in (twisted differential) non-abelian cohomology

Domenico Fiorenza, Hisham Sati+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 204被引用 7

一句话总结

本文引入了在（ twisted, differential）上同调中非交换的陈-多尔德特征映射的推广，通过 L∞-代数取值的微分形式，将其扩展至非交换德拉姆上同调。借助微分分次代数的有理同伦论，该研究在更高阶非交换上同调中统一了陈-外尔与契夫雷-西蒙斯同态，揭示了 M-理论流密紧化中的拓扑约束。

ABSTRACT

We extend the Chern character on K-theory, in its generalization to the Chern-Dold character on generalized cohomology theories, further to (twisted, differential) non-abelian cohomology theories, where its target is a non-abelian de Rham cohomology of twisted L-infinity algebra valued differential forms. The construction amounts to leveraging the fundamental theorem of dg-algebraic rational homotopy theory to a twisted non-abelian generalization of the de Rham theorem. We show that the non-abelian character reproduces, besides the Chern-Dold character, also the Chern-Weil homomorphism as well as its secondary Cheeger-Simons homomorphism on (differential) non-abelian cohomology in degree 1, represented by principal bundles (with connection); and thus generalizes all these to higher (twisted, differential) non-abelian cohomology, represented by higher bundles/higher gerbes (with higher connections). As a fundamental example, we discuss the twisted non-abelian character map on twistorial Cohomotopy theory over 8-manifolds, which can be viewed as a twisted non-abelian enhancement of topological modular forms (tmf) in degree 4. This turns out to exhibit a list of subtle topological relations that in high energy physics are thought to govern the charge quantization of fluxes in M-theory.

研究动机与目标

• 将陈-多尔德特征映射推广至非交换上同调理论。
• 在更高阶上同调中统一陈-外尔与契夫雷-西蒙斯同态。
• 为高阶主丛与 gerbes 构造一个扭曲的、微分的非交换特征映射。
• 将该框架应用于 8-流形上的扭形同伦球面上同调，揭示 M-理论中的拓扑约束。
• 在第 4 阶建立拓扑模形式（tmf）的非交换增强。

提出的方法

• 利用微分分次代数的有理同伦论，通过 L∞-代数将上同调与微分形式联系起来。
• 应用微分分次代数有理同伦论的基本定理，构造非交换德拉姆定理。
• 将非交换特征映射构造为从扭曲的、微分的非交换上同调到非交换德拉姆上同调的态射。
• 通过 Dold-Kan 对应与稳定同伦论的提升，将陈-多尔德特征映射推广至非交换情形。
• 将该框架应用于 8-流形上的扭形同伦球面上同调，利用 E8 规范群及其关联的 L∞-代数。
• 通过特征映射的像推导电荷量子化条件，将其与 M-理论中的流联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 陈-多尔德特征映射如何推广至非交换上同调理论？
• RQ2 在更高阶非交换上同调中，陈-外尔与契夫雷-西蒙斯同态如何统一？
• RQ3 非交换德拉姆上同调在编码 M-理论中流的量子化方面起什么作用？
• RQ4 在 8-流形上的扭形同伦球面上同调中，扭曲的非交换特征映射行为如何？
• RQ5 在第 4 阶，非交换特征映射的像中会涌现出何种拓扑约束？

主要发现

• 非交换特征映射将陈-多尔德特征映射推广至非交换上同调，映射到 L∞-代数取值形式的非交换德拉姆上同调。
• 该映射在第 1 阶重现了陈-外尔同态，编码主丛与联络的曲率不变量。
• 它在第 1 阶扩展为契夫雷-西蒙斯同态，捕捉了次级特征类。
• 在 8-流形上的扭形同伦球面上同调中，特征映射揭示了与 E8 规范群相关的流的微妙拓扑约束。
• 该构造在第 4 阶提供了拓扑模形式（tmf）的扭曲的、微分的非交换增强。
• 特征映射的像编码了 M-理论中流的电荷量子化条件，将狄拉克量子化推广至非交换与高阶结构。