[论文解读] The integral representation of solutions of KZ equation and a modification by $\mathcal{K}$ operator insertion

R. Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 68被引用 11

一句话总结

本论文通过q-变形玻色子在单位根极限下的构造，建立了$χ\widehat{sl}(2)_{k}$共形场论中带有$χ$-算符插入的四点电流块的积分表示。通过取极限$q \to 1$，$t \to -1$，$q$-变形的Virasoro代数退化为$\mathbb{Z}_k$-parafermionic理论，且$\mathcal{K}$-算符插入通过右旋玻色子实现，从而得到修改后的KZ方程的显式积分公式。

ABSTRACT

A root of unity limit of the $q$-deformed Virasoro algebra is considered. The $\widehat{sl}(2)_k$ current algebra and the integral formulas of the solutions of the KZ equations can be realized by the $q$-deformed boson at the limit and an additional boson. We explicitly construct the integral representation of the four-point blocks with a $\mathcal{K}$-operator insertion.

研究动机与目标

• 在$q$-变形Virasoro代数的单位根极限下，实现$\widehat{sl}(2)_k$电流代数及其KZ方程的积分解。
• 构造带有$\mathcal{K}$-算符插入的四点电流块的显式积分表示。
• 通过与应力-能量张量及电流算符的OPE分析，阐明$\mathcal{K}$-算符插入对KZ方程的修改机制。
• 通过表面算符插入，将$q$-变形$\widehat{sl}(2)$理论与$\mathcal{N}=2$ 4维规范理论联系起来，推广AGT对应关系。

提出的方法

• 取$q$-变形玻色子的单位根极限$q \to 1$，$t \to -1$，导致其分解为偶和奇的右旋分量$\phi_1(z)$与$\phi_2(z)$。
• 利用$q$-变形海森堡代数的极限及一个额外的玻色子，实现$\widehat{sl}(2)_k$电流代数，其中水平数$k$由整数比$m_\pm$与$\tilde{k}$决定。
• 将$\mathcal{K}$-算符表示为$\mathcal{K}^\dagger = \exp(-\phi_0^{(+)}(1))$，其中$\phi_0^{(+)}(z)$表示右旋玻色子$\phi_0(z)$的正频率部分。
• 通过相关函数$\langle j-2m | \Phi_{j_1}^{m_1}(1) \mathcal{K}^\dagger \Phi_{j_2}^{m_2}(z_2) | j_3 \rangle$推导出修改后的四点块，其中$\mathcal{K}^\dagger$作为对顶点算符的平移算符作用。
• 利用从$X(z)$与$Y(z)$导出的$\widetilde{X}(z)$，$\widetilde{Y}(z)$与$\widetilde{\gamma}(z)$分量，构造修改后块的显式积分公式。
• 分析$\widetilde{\Phi}_j^0(z)$与$T(w)$，$H(w)$，$E(w)$，$F(w)$的OPE，发现额外项，表明标准KZ方程被修改。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位根极限$q \to 1$，$t \to -1$下，$q$-变形Virasoro代数如何退化？其出现的代数结构是什么？
• RQ2 能否从该极限下的$q$-变形玻色子重构$\widehat{sl}(2)_k$电流代数及其积分解？
• RQ3 在$\widehat{sl}(2)_k$ CFT中，带有$\mathcal{K}$-算符插入的四点电流块的显式积分表示是什么？
• RQ4 $\mathcal{K}$-算符如何修改标准KZ方程？其与电流算符及应力-能量张量的OPE中出现了哪些新项？
• RQ5 所得到的修改后KZ方程是否与量子单值化方程相关，如OPE结构所暗示的那样？

主要发现

• 单位根极限$q \to 1$，$t \to -1$下，$q$-变形玻色子产生两个右旋分量$\phi_1(z)$与$\phi_2(z)$，其实现水平数为$k = \frac{2(m_+ - m_-) + \tilde{k}}{m_-}$的$\widehat{sl}(2)_k$电流代数。
• $\mathcal{K}$-算符实现为$\mathcal{K}^\dagger = \exp(-\phi_0^{(+)}(1))$，对顶点算符非平凡作用，从而修改电流块结构。
• 带有$\mathcal{K}$-插入的四点块表示为$\widetilde{\Psi}_{m_1,m_2}(w_2) = \langle j-2m | \Phi_{j_1}^{m_1}(1) \widetilde{\Phi}_{j_2}^{m_2}(z_2) | j_3 \rangle$，其中$\widetilde{\Phi}_{j}^{m}(z)$通过$U^m$引入$\mathcal{K}$作用。
• 导出显式积分公式：当$m_1 = m_2 = 0$时，$\widetilde{\Psi}_{0,0}(w_2) = (1-w_2)^{\frac{j_1 j_2}{2\kappa} - \frac{j_2}{2}} w_2^{\frac{j_2 j_3}{2\kappa}} (v_{j_1} \otimes e^{-e} v_{j_2})$；当$m_1=0, m_2=1$时，为包含三个幂律因子与有理函数系数的$\tau$积分。
• $T(w_1)$与$\widetilde{\Phi}_j^0(w_2)$的OPE包含额外项$-\left(j \widetilde{X}^{-1}Y \otimes 1 + \widetilde{X}^{-2} \widetilde{Y} Y \otimes e\right)$，表明其变换非标准，从而修改KZ方程。
• 由异常OPE行为产生的修改后KZ方程，可能与量子单值化方程相关，如$E(w)$，$F(w)$与$H(w)$的OPE结构所暗示。