[论文解读] The moduli space of stable coherent sheaves via non-archimedean geometry

Yunfeng Jiang|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文通過伯克霍夫解析空間和離散賦值環上的形式概形，利用非阿基米德幾何構造了穩定凝聚層的模空間。將 d-臨界結構與動機積分推廣至非阿基米德設定，證明了一個動機局部化公式，該公式推廣了 Maulik 的結果，並為非阿基米德 Donaldson-Thomas 不變量奠定了基礎。

ABSTRACT

We provide a construction of the moduli space of stable coherent sheaves in the world of non-archimedean geometry, where we use the notion of Berkovich non-archimedean analytic spaces. The motivation for our construction is Tony Yue Yu's non-archimedean enumerative geometry in Gromov-Witten theory. The construction of the moduli space of stable sheaves using Berkovich analytic spaces will give rise to the non-archimedean version of Donaldson-Thomas invariants. In this paper we give the moduli construction over a non-archimedean field $\kk$. We use the machinery of formal schemes, that is, we define and construct the formal moduli stack of (semi)-stable coherent sheaves over a discrete valuation ring $R$, and taking generic fiber we get the non-archimedean analytic moduli of semistable coherent sheaves over the fractional non-archimedean field $\kk$. For a moduli space of stable sheaves of an algebraic variety $X$ over an algebraically closed field $κ$, the analytification of such a moduli space gives an example of the non-archimedean moduli space. We generalize Joyce's $d$-critical scheme structure in \cite{Joyce} or Kiem-Li's virtual critical manifolds in \cite{KL} to the world of formal schemes, and Berkovich non-archimedean analytic spaces. As an application, we provide a proof for the motivic localization formula for a $d$-critical non-archimedean $\kk$-analytic space using global motive of vanishing cycles and motivic integration on oriented formal $d$-critical schemes. This generalizes Maulik's motivic localization formula for motivic Donaldson-Thomas invariants.

研究动机与目标

• 在非阿基米德解析幾何的框架下，利用伯克霍夫空間構造（半）穩定凝聚層的模空間。
• 將 Joyce 的 d-臨界概形結構與 Kiem-Li 的虛臨界流形推廣至形式概形與非阿基米德解析空間。
• 透過全局動機與動機積分，建立非阿基米德 d-臨界解析空間的動機局部化公式。
• 透過模空間的解析化，提供非阿基米德 Donaldson-Thomas 不變量的類比。
• 將 Maulik 的動機局部化公式推廣至非阿基米德設定，特別是針對定向形式 d-臨界概形。

提出的方法

• 使用離散賦值環 R 上的形式概形定義（半）穩定凝聚層的形式模空間堆疊。
• 取其一般纖層，得到基於域 K 的伯克霍夫非阿基米德解析模空間。
• 應用 Artin 的準則，證明模函子可表示為代數堆疊。
• 透過動機積分，在定向形式 d-臨界概形上引入消失循環的全局動機。
• 利用消失循環的全局動機，建立在 Gm-作用下的非阿基米德版本動機局部化公式。
• 以代數模空間的解析化為非阿基米德模空間的具體例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非阿基米德幾何世界中，利用伯克霍夫解析空間構造穩定凝聚層模空間？
• RQ2 如何將代數幾何中的 d-臨界結構推廣至形式概形與非阿基米德解析空間？
• RQ3 非阿基米德 d-臨界解析空間是否存在動機局部化公式？其與 Maulik 公式的關係為何？
• RQ4 能否透過此構造定義非阿基米德 Donaldson-Thomas 不變量？
• RQ5 當標準條件失效時，Gm-作用在非阿基米德不變量的動機局部化中扮演何種角色？

主要发现

• 在 stft 形式概形上，（半）穩定凝聚層的形式模函子透過 Artin 準則可表示為代數堆疊。
• 在代數閉域上，穩定層模空間的解析化提供了非阿基米德解析模空間的具體例子。
• 透過全局動機與動機積分，證明了非阿基米德 d-臨界解析空間的動機局部化公式。
• 該公式將 Maulik 對動機 Donaldson-Thomas 不變量的動機局部化公式推廣至非阿基米德設定。
• 該構造為透過代數模空間的解析化定義非阿基米德 Donaldson-Thomas 不變量提供了基礎。
• 本文猜想，在孤立固定點處的 Behrend 函數對應於虛指標，但完整公式仍待證明。