[论文解读] The $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence and a question of Serre

Sean Howe|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文建立了 $p$-进模形式的完备 Hecke 代数与在 $p$ 和 $\infty$ 处分歧的四元数代数的单位群上的连续 $p$-进自守形式的完备 Hecke 代数之间的同构，为 Serre 在 1987 年提出的问题提供了肯定回答。证明使用了几何方法，包括 Hodge-Tate 周期图和伪 Hasse 量，并在局部-全局相容性假设下确认了局部代数向量的非稠密性。

ABSTRACT

We show that the completed Hecke algebra of $p$-adic modular forms is isomorphic to the completed Hecke algebra of continuous $p$-adic automorphic forms for the units of the quaternion algebra ramified at $p$ and $\infty$. This gives an affirmative answer to a question posed by Serre in a 1987 letter to Tate. The proof is geometric, and lifts a mod $p$ argument due to Serre: we evaluate modular forms by identifying a quaternionic double-coset with a fiber of the Hodge-Tate period map, and extend functions off of the double coset using fake Hasse invariants. Assuming local-global compatibility with the local $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence of Knight and Scholze, we also show that in many cases the locally algebraic vectors are not dense in the quaternionic representations that appear, confirming an expectation of Knight.

研究动机与目标

• 解决 Serre 在 1987 年提出的关于 $p$-进模形式与四元数群上自守形式之间关系的问题。
• 建立在 $p$ 和 $\infty$ 处分歧的四元数代数的单位群上的 $p$-进模形式与 $p$-进自守形式的完备 Hecke 代数之间的同构。
• 提供一种几何证明策略，将 Serre 最初关于模 $p$ 的论证提升至 $p$-进情形。
• 在局部-全局相容性假设下，研究四元数 $p$-进表示中局部代数向量的稠密性。
• 确认 Knight 对于某些四元数表示中局部代数向量非稠密性的预期。

提出的方法

• 利用 Hodge-Tate 周期图将一个四元数双陪集识别为一个纤维，从而实现模形式的取值。
• 使用伪 Hasse 量将函数从双陪集外推出，促进全局截面的构造。
• 应用几何技术，将 Serre 的模 $p$ 论证提升至 $p$-进设定，确保与完备 Hecke 代数结构的相容性。
• 依赖 Knight 与 Scholze 的局部 $p$-进 Jacquet-Langlands 对应，将局部表示与全局自守数据联系起来。
• 利用完备 Hecke 代数的同构，在模形式与四元数自守形式之间传递性质。
• 应用 $p$-进模形式及其完备 Hecke 代数的理论，建立 $p$-进设定下的结构等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个自然同构，将 $p$-进模形式的完备 Hecke 代数与在 $p$ 和 $\infty$ 处分歧的四元数代数的单位群上的 $p$-进自守形式的完备 Hecke 代数联系起来？
• RQ2 能否通过几何方法，将 Serre 关于 Jacquet-Langlands 对应的模 $p$ 论证提升至 $p$-进设定？
• RQ3 在何种条件下，局部代数向量在由四元数 $p$-进 Jacquet-Langlands 对应产生的表示中不稠密？
• RQ4 Knight 与 Scholze 的局部 $p$-进 Jacquet-Langlands 对应如何与全局 Hecke 代数结构相互作用？
• RQ5 在 $p$-进自守形式的背景下，伪 Hasse 量在多大程度上可用于将函数从双陪集中外推出？

主要发现

• 在 $p$ 和 $\infty$ 处分歧的四元数代数的单位群上的 $p$-进模形式的完备 Hecke 代数，同构于该四元数代数单位群上的连续 $p$-进自守形式的完备 Hecke 代数。
• 该同构为 Serre 在 1987 年关于 $p$-进 Jacquet-Langlands 对应的问题提供了肯定回答。
• 该证明具有几何性，依赖于 Hodge-Tate 周期图将双陪集识别为一个纤维，并利用伪 Hasse 量将函数从该集合外推出。
• 在假设与 Knight 和 Scholze 的局部 $p$-进 Jacquet-Langlands 对应相容的局部-全局相容性下，本文表明在某些四元数表示中，局部代数向量不稠密。
• 这证实了 Knight 的预期：在相关 $p$-进表示中，局部代数向量不稠密。
• 该构造揭示了在 $p$-进设定下，模形式与四元数群上自守形式之间深层的几何联系。