[论文解读] The Sketching Complexity of Graph Cuts

Alexandr Andoni, Robert Krauthgamer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文建立了在 (1+ε) 因子内近似所有图割的压缩复杂度的紧致界，证明了对于一般压缩方案，Ω(n/ε²) 位是必需的，而对于最优空间，则为 Ω(n/ε)。本文提出了一种新颖的压缩方案，结合分层边采样与稀疏化，实现了最优的 Õ(n/ε) 压缩大小，显著优于先前的 Õ(n/ε²) 界，并证明了该新界在信息论上是紧致的。

ABSTRACT

We study the problem of sketching an input graph, so that given the sketch, one can estimate the weight of any cut in the graph within factor $1+ε$. We present lower and upper bounds on the size of a randomized sketch, focusing on the dependence on the accuracy parameter $ε>0$. First, we prove that for every $ε> 1/\sqrt n$, every sketch that succeeds (with constant probability) in estimating the weight of all cuts $(S,\bar S)$ in an $n$-vertex graph (simultaneously), must be of size $Ω(n/ε^2)$ bits. In the special case where the sketch is itself a weighted graph (which may or may not be a subgraph) and the estimator is the sum of edge weights across the cut in the sketch, i.e., a cut sparsifier, we show the sketch must have $Ω(n/ε^2)$ edges, which is optimal. Despite the long sequence of work on graph sparsification, no such lower bound was known on the size of a cut sparsifier. We then design a randomized sketch that, given $ε\in(0,1)$ and an edge-weighted $n$-vertex graph, produces a sketch of size $ ilde O(n/ε)$ bits, from which the weight of any cut $(S,\bar S)$ can be reported, with high probability, within factor $1+ε$. The previous upper bound is $ ilde O(n/ε^2)$ bits, which follows by storing a cut sparsifier (Bencz{ú}r and Karger, 1996). To obtain this improvement, we critically use both that the sketch need only be correct on each fixed cut with high probability (rather than on all cuts), and that the estimation procedure of the data structure can be arbitrary (rather than a weighted subgraph). We also show a lower bound of $Ω(n/ε)$ bits for the space requirement of any data structure achieving this guarantee.

研究动机与目标

• 为解决理解将图中所有割近似为 (1+ε) 因子所需最小压缩大小的差距。
• 通过设计更节省空间的数据结构，改进先前关于割压缩的 Õ(n/ε²) 上界。
• 在 (1+ε)-近似保证下，为压缩大小建立紧致的 Ω(n/ε) 下界，即使对于无权图也成立。
• 证明压缩问题与割稀疏化器构建本质上不同，从而允许更紧凑的表示。

提出的方法

• 提出一种通用压缩模型，推广了割稀疏化器，允许任意数据结构来估计割权重。
• 设计一种分层压缩方案，对不同权重阈值的边进行采样，并在边加权子图上使用递归分解。
• 在简化图的每个连通分量上应用“基础压缩”，其中大小 ≥2 的分量以每单位大小 s 的 Õ(s/ε) 空间进行压缩。
• 通过在指数间隔的权重层级上使用望远镜求和论证，限制所有层级的总存储量，实现 Õ(n/ε) 的总空间。
• 基于将位串编码为二分图的概率论证，证明任何压缩方案在常数成功概率下均需 Ω(n/ε) 位的下界。
• 利用通过割值差异可重构单条边存在性的事实，来估计单个割值的 (1+ε) 精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 n 个顶点的图中，能够 (1+ε)-近似所有割权重的最小压缩大小是多少？
• RQ2 对于一般压缩方案，能否改进 Benczúr 和 Karger 的割稀疏化器构造所给出的 Õ(n/ε²) 上界？
• RQ3 对于割稀疏化器，Ω(n/ε²) 的下界是否紧致，或者能否进一步改进？
• RQ4 能否设计一种压缩方案，实现 Õ(n/ε) 的大小，同时保持对所有割的 (1+ε)-近似？
• RQ5 在 (1+ε)-近似割估计中，压缩大小的信息论极限是什么？

主要发现

• 本文证明了任何能够 (1+ε)-近似 n 个顶点图中所有割的压缩方案，其大小的紧致下界为 Ω(n/ε²)，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 对于割稀疏化器本身，本文建立了边数的紧致下界 Ω(n/ε²)，表明该界是最优的，无法进一步改进。
• 作者设计了一种大小为 Õ(n/ε) 位的压缩方案，可在高概率下支持对任意割的 (1+ε)-近似估计。
• 新的上界 Õ(n/ε) 显著优于 Benczúr 和 Karger 的割稀疏化器构造所给出的先前 Õ(n/ε²) 上界。
• 本文证明了任何实现 (1+ε)-近似的压缩方案均需 Ω(n/ε) 位的下界，表明新上界在多对数因子范围内是最优的。
• 该结果意味着压缩问题本质上比割稀疏化更强大，因为在仅需每条割常数概率正确性时，可实现显著更小的表示。