[论文解读] The smooth loop stack of a differentiable stack

David Roberts, Raymond F. Vozzo|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文引入了一个弗雷歇-李群概形（Fréchet--Lie groupoid）Map(S¹,X)，用于表示与一个李群概形X相关的可微栈𝒳中的光滑环路的栈。通过将该群概形构造为一个ana函子表示，该研究为Hom-栈𝒢Hom(S¹,𝒳)提供了一个具体且可微的模型，使得能够利用无穷维李群概形技术在可微栈的背景下研究环路空间。

ABSTRACT

We define a Fr\'echet--Lie groupoid Map(S^1,X) of anafunctors from the circle into a Lie groupoid X. This provides a presentation of the Hom-stack \cHom(S^1,\cX), where \cX is the differentiable stack associated to X.

研究动机与目标

• 为与可微栈𝒳相关的Hom-栈𝒢Hom(S¹,𝒳}提供一个可微且几何化的模型。
• 解决在可微栈的环路空间中缺乏具体李群概形表示的问题。
• 通过ana函子形式，定义并表征弗雷歇--李群概形Map(S¹,X)作为𝒢Hom(S¹,𝒳)的表示。
• 通过无穷维可微结构，将可微栈的框架扩展至包含环路空间。

提出的方法

• 将群概形Map(S¹,X)构造为从圆周S¹到李群概形X的ana函子的群概形。
• 通过在其态射空间上赋予弗雷歇流形结构，使Map(S¹,X)具备弗雷歇--李群概形的结构。
• 利用ana函子范畴，确保与𝒢Hom(S¹,𝒳)的栈性质相容。
• 验证Map(S¹,X)在可微栈的2-category中确实表示了Hom-栈𝒢Hom(S¹,𝒳)。
• 应用无穷维微分几何技术，处理环路空间上的弗雷歇结构。
• 确保该构造在莫里塔等价下保持不变，从而保持栈理论的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为可微栈中到可微栈的光滑环路的栈构造一个可微群概形模型？
• RQ2 何种适当的无穷维李群概形结构能够表示Hom-栈𝒢Hom(S¹,𝒳)？
• RQ3 从S¹到X的ana函子能否在可微范畴中为Hom-栈提供一个明确定义的表示？
• RQ4 弗雷歇--李群概形Map(S¹,X)与栈理论环路空间𝒢Hom(S¹,𝒳)之间有何关系？
• RQ5 在可微栈的背景下，Hom-栈的环路空间具有怎样的结构与几何性质？

主要发现

• 群概形Map(S¹,X)被构造为弗雷歇--李群概形，为栈𝒳的环路空间提供了可微模型。
• 通过ana函子形式，Map(S¹,X)正确表示了Hom-栈𝒢Hom(S¹,𝒳)，确保了栈理论的正确性。
• 该构造为环路空间赋予了一个与原始李群概形X相容的明确定义的无穷维可微结构。
• 所得群概形Map(S¹,X)在莫里塔等价下保持不变，体现了Hom-构造的栈性质。
• 该方法通过ana函子在无穷维李群概形与可微栈之间建立了桥梁。
• 该方法将经典环路空间构造推广至栈的设定，从而为后续的几何与拓扑分析提供了可能。