[论文解读] The stationary measure for diagonal quantum walk with one defect

Takako Endo, Hikari Kawai+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文使用散射格林函数（SGF）方法，推导出具有对角幺正矩阵和一个缺陷的一维量子行走的平稳测度。结果表明，平稳测度通常是非均匀的，且依赖于缺陷的结构和初始态，但当缺陷为对角矩阵时，平稳测度变为均匀，从而为对角量子行走中的平稳测度提供了一个分类框架。

ABSTRACT

This study is motivated by the previous work [14]. We treat 3 types of the one-dimensional quantum walks (QWs), whose time evolutions are described by diagonal unitary matrix, and diagonal unitary matrices with one defect. In this paper, we call the QW defined by diagonal unitary matrices, "the diagonal QW", and we consider the stationary distributions of generally 2-state diagonal QW with one defect, 3-state space-homogeneous diagonal QW, and 3-state diagonal QW with one defect. One of the purposes of our study is to characterize the QWs by the stationary measure, which may lead to answer the basic and natural question, "What the stationary measure is for one-dimensional QWs ?". In order to analyze the stationary distribution, we focus on the corresponding eigenvalue problems and the definition of the stationary measure.

研究动机与目标

• 通过其平稳测度表征一维量子行走，解决一个基本问题：一维量子行走的平稳测度是什么？
• 分析具有一个缺陷的2-态和3-态对角量子行走的平稳分布，扩展先前关于均匀与非均匀测度的研究。
• 阐明平稳测度变为均匀的条件，特别是与缺陷对角性及量子比特结构的关系。
• 通过引入缺陷效应，推广先前关于对角量子行走中平稳测度的结果，尤其是Konno等人[14]的研究。
• 为基于平稳测度特性的对角量子行走分类奠定基础，包括未来向多缺陷及拓扑不变量的扩展。

提出的方法

• 应用散射格林函数（SGF）方法求解与量子行走时间演化算符相关的本征值问题。
• 使用对角幺正矩阵表示体区，x=0处使用非对角缺陷矩阵，包含相位参数σ±和一般复数元素。
• 将平稳测度μ(x)表示为波函数振幅Ψ^L(0)、Ψ^R(0)、Ψ^L(1)、Ψ^R(-1)及其复共轭的函数。
• 利用本征值λ = ±√(Δ^(±)e^{iσ±})确定平稳测度分量，表明当Δ^(±)固定时，平稳测度与具体相位值σ±无关。
• 将相同方法应用于具有单个对角矩阵U的3-态空间均匀对角QW，得到简化的测度表达式。
• 比较2-态与3-态情况下的结果，识别平稳测度对缺陷类型和内态数的结构性依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有一个缺陷的对角量子行走的平稳测度变为均匀？
• RQ2 非对角缺陷的存在如何影响平稳测度的形式及其空间依赖性？
• RQ3 对角幺正矩阵的行列式和相位参数在塑造平稳测度中起什么作用？
• RQ4 内态数（2 vs 3）如何影响对角量子行走中平稳测度的结构？
• RQ5 SGF方法能否系统性地推广，以对所有对角量子行走中的平稳测度进行分类，包括具有多个缺陷的情况？

主要发现

• 具有一个缺陷的2-态对角量子行走的平稳测度通常是非均匀的，且依赖于缺陷矩阵的复数元素和初始态振幅。
• 该测度不表现出指数衰减，且强烈受缺陷结构和初始量子比特态的影响，即使体区的量子比特矩阵是对角的也是如此。
• 对于3-态空间均匀对角QW，平稳测度为μ(x) = |α|² + |β|²（当x ≠ 0时），μ(0) = |α|² + |γ|² + |β|²，显示出明确的位置依赖性。
• 当缺陷为对角矩阵时，无论体区参数如何，平稳测度均变为均匀，证实了Konno等人[14]的关键结果。
• 本征值λ = ±√(Δ^(±)e^{iσ±})决定平稳测度，且当Δ^(±)固定时，测度与具体σ±值无关。
• 该方法成功推广了先前关于平稳测度的研究结果，表明缺陷的对角性是平稳测度均匀性的充分条件。