[论文解读] The SYZ mirror symmetry and the BKMP remodeling conjecture

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 83被引用 4

一句话总结

该论文通过结合SYZ镜像对称与BKMP重塑猜想，建立了关于toric Calabi-Yau 3-轨道丛的全亏格后代镜像对称。它证明了镜曲线上的Eynard-Orantin拓扑递归不变量重现了开与闭Gromov-Witten不变量的完整生成函数，将猜想推广至轨道丛情形，并通过量化与镜像对称给出了图求和公式。

ABSTRACT

The Remodeling Conjecture proposed by Bouchard-Klemm-Mariño-Pasquetti (BKMP) relates the A-model open and closed topological string amplitudes (open and closed Gromov-Witten invariants) of a symplectic toric Calabi-Yau 3-fold to Eynard-Orantin invariants of its mirror curve. The Remodeling Conjecture can be viewed as a version of all genus open-closed mirror symmetry. The SYZ conjecture explains mirror symmetry as $T$-duality. After a brief review on SYZ mirror symmetry and mirrors of symplectic toric Calabi-Yau 3-orbifolds, we give a non-technical exposition of our results on the Remodeling Conjecture for symplectic toric Calabi-Yau 3-orbifolds. In the end, we apply SYZ mirror symmetry to obtain the descendent version of the all genus mirror symmetry for toric Calabi-Yau 3-orbifolds.

研究动机与目标

• 将BKMP重塑猜想推广至辛t玄toral Calabi-Yau 3-轨道丛。
• 为这些轨道丛建立全亏格镜像对称的后代版本。
• 证明镜曲线上的Eynard-Orantin不变量可计算开与闭Gromov-Witten不变量的完整生成函数。
• 在轨道丛设定下，统一SYZ镜像对称、拓扑递归与Givental量化。

提出的方法

• 利用SYZ镜像对称将A模型中的拉格朗日子流形与镜曲线上的周期相联系。
• 对镜曲线 $ C_q $ 应用Eynard-Orantin拓扑递归，生成高亏格不变量 $ \omega_{g,n} $。
• 在GKM轨道丛的等变Gromov-Witten理论中使用图求和公式表示总后代势函数。
• 应用Givental的量化公式及其在GKM轨道丛上的推广，将势函数表达为带装饰的稳定图之和。
• 通过权重恒等式 $ w_B(\vec{\Gamma}) = (-1)^{g-1+n}|G|^n w_A(\vec{\Gamma}) $ 将 $ \omega_{g,n} $ 的图求和与Gromov-Witten不变量的图求和匹配。
• 应用Iritani的振荡积分定理，将SYZ变换后的层与后代不变量相联系，建立 $ \int e^{\hat{x}/z} ydx $ 与 $ \left\langle \frac{\kappa(L)}{z - \psi} \right\rangle_{0,1} $ 的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 BKMP重塑猜想能否被推广至非光滑情形的t玄Calabi-Yau 3-轨道丛？
• RQ2 SYZ镜像对称如何将A模型的开/闭振幅与B模型在镜曲线上的不变量相联系？
• RQ3 在轨道丛设定下，Eynard-Orantin不变量 $ \omega_{g,n} $ 与Gromov-Witten不变量 $ F^\mathcal{X}_{g,n} $ 之间的确切对应关系为何？
• RQ4 能否从SYZ变换与振荡积分推导出全亏格镜像对称的后代版本？
• RQ5 在镜像对称下，Gromov-Witten势函数与拓扑递归不变量的图求和公式如何匹配？

主要发现

• BKMP重塑猜想已在所有半投影t玄toral Calabi-Yau 3-轨道丛上得到证明，扩展了此前对仿射轨道丛的结果。
• Eynard-Orantin不变量 $ \omega_{g,n} $ 与开Gromov-Witten不变量 $ F^{\mathcal{X},\mathcal{L}}_{g,n} $ 之间的对应关系对所有 $ (g,n) $ 成立，包括 $ n=0 $，仅相差常数与二次多项式。
• 对所有带装饰图 $ \vec{\Gamma} $ 建立了权重恒等式 $ w_B(\vec{\Gamma}) = (-1)^{g-1+n}|G|^n w_A(\vec{\Gamma}) $，证明了图求和公式的等价性。
• 全亏格镜像对称的后代版本已得证：$ \int_{\gamma(L_1)\times\cdots\times\gamma(L_n)} e^{\sum \hat{x}_i/z_i} \omega_{g,n} = \left\langle \frac{\kappa(L_1)}{z_1 - \psi_1} \cdots \frac{\kappa(L_n)}{z_n - \psi_n} \right\rangle_{g,n} $。
• 振荡积分 $ \int_{\mathrm{SYZ}(\mathcal{F})} e^{\widetilde{W}/z} \Omega $ 与亏格零后代势函数 $ \left\langle \frac{\kappa(\mathcal{F})}{z - \psi} \right\rangle_{0,1} $ 匹配，验证了基于SYZ的构造。
• 该证明依赖于光滑toral DM堆栈的亏格零镜像定理，以及图求和展开在镜像对称下的相容性。