[论文解读] Time evolution of spread complexity in quenched Lipkin-Meshkov-Glick model

Mir Afrasiar, Jaydeep Kumar Basak+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2022

Quantum many-body systems参考文献 73被引用 4

一句话总结

本文研究了淬火李辛-梅斯科夫-格利克（LMG）模型中传播复杂度（SC）的时间演化，以探测量子相变。通过分析高于截止值的Krylov基矢中对SC有贡献的元素的增长，区分了对称相与破缺相，表明在临界淬火后，传播熵在晚期时间缓慢收敛，而在对称相中则出现对数发散。

ABSTRACT

We use the spread complexity of a time evolved state after a sudden quantum quench in the Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) model prepared in the ground state as a probe of quantum phase transition when the system is quenched towards the critical point. By studying the growth of the effective number of elements of the Krylov basis, those contribute to the spread complexity more than a preassigned cut off, we show how the two phases of the LMG model can be distinguished. We also explore the time evolution of spread entropy after both non-critical and critical quenches. We show that the sum contributing to the spread entropy converges slowly in the symmetric phase of the LMG model compared to that of the broken phase, and for a critical quench, the spread entropy diverges logarithmically at late times.

研究动机与目标

• 通过量子淬火后传播复杂度（SC）探测李辛-梅斯科夫-格利克（LMG）模型中的量子相变。
• 通过SC与Krylov基矢贡献的动力学区分LMG模型的对称相与破缺相。
• 研究非临界与临界淬火后传播熵的时间演化。
• 比较不同相中传播熵的收敛行为，并识别临界淬火后晚期时间的发散行为。

提出的方法

• 将量子淬火后时间演化态的传播复杂度（SC）用作探测LMG模型中量子相变的探针。
• 利用SU(2)群结构计算时间演化态，由于演化算符的低秩结构，仅用两个Krylov基矢的叠加表示。
• 应用Lanczos算法计算非零的Lanczos系数 $ a_0, a_1, b_1 $，以定义Krylov基矢并实现SC的计算。
• 通过展开系数 $ heta_0(t), heta_1(t) $ 推导单个动量模态的SC，得到仅依赖于淬火后参数 $ q_1^f, q_2^f $ 和动量 $ k $ 的闭式表达式。
• 在连续极限下对所有 $ k $ 的模态SC进行积分，并乘以2以包含负 $ k $，从而获得总传播复杂度。
• 数值计算并分析传播熵的时间演化，以比较对称相与破缺相中的收敛性，并识别临界淬火后的时间发散行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 传播复杂度能否在量子淬火后区分LMG模型的对称相与破缺相？
• RQ2 在对称相与破缺相中，对SC有贡献的Krylov基矢元素的增长有何不同？
• RQ3 在非临界与临界淬火后，传播熵的时间演化行为如何？
• RQ4 传播熵在临界淬火后晚期时间是否表现出发散行为？若是，其函数形式为何？

主要发现

• 在对称相与破缺相中，高于截止值的SC贡献Krylov基矢的有效数量增长方式不同，从而实现了相的区分。
• 与破缺相相比，传播熵在对称相中收敛更慢，表明混合更慢或复杂度增长受抑制。
• 在临界淬火后，传播熵在晚期时间出现对数发散，表明复杂度增长出现临界慢化。
• SC的时间演化呈振荡衰减形式，且在淬火后非拓扑（对称）相中SC的幅值大于拓扑（破缺）相。
• 交换最终参数 $ q_1^f $ 与 $ q_2^f $ 会改变SC的幅值，但保持振荡周期不变，这与先前研究不同，后者中SC始终围绕一个共同值振荡，与相无关。
• 单个动量模态的SC表达式仅依赖于淬火后参数与时间，不依赖于初始哈密顿量，这是由于初始态为 $ ig| rac{1}{2}, -rac{1}{2} ig angle $，而非基态。