[论文解读] Torus bundles and 2-forms on the universal family of Riemann surfaces

Robin de Jong|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文通過分析其表示2-形式，重新研究了曲面族上Morita的整上同調類，特別是將其與Miller-Morita-Mumford類e和e₁聯繫起來。文章為Kawazumi關於不變量a_g的二階變分結果提供了新證明，並通過Arakelov度量比較，將a_g與Faltings的delta-不變量以及Hain-Reed的beta-不變量聯繫起來。

ABSTRACT

We revisit three results due to Morita expressing certain natural integral cohomology classes on the universal family of Riemann surfaces C_g, coming from the parallel symplectic form on the universal jacobian, in terms of the Miller-Morita-Mumford classes e and e_1. Our discussion will be on the level of the natural 2-forms representing the relevant cohomology classes, and involves a comparison with other natural 2-forms representing e, e_1 induced by the Arakelov metric on the relative tangent bundle of C_g over M_g. A secondary object called a_g occurs, which was discovered and studied by Kawazumi around 2008. We present alternative proofs of Kawazumi's (unpublished) results on the second variation of a_g on M_g. Also we review some results that were previously obtained on the invariant a_g, with a focus on its connection with Faltings's delta-invariant and Hain-Reed's beta-invariant.

研究动机与目标

• 通過微分2-形式重新解釋曲面族上Morita的整上同調類。
• 比較由曲面族C_g上模空間M_g的相對切叢上的Arakelov度量所誘導的e和e₁的2-形式，與由曲面族的全純jacobian上的辛形式所產生的2-形式。
• 為Kawazumi關於模空間M_g上不變量a_g的二階變分的未發表結果提供替代證明。
• 澄清a_g與其他不變量之間的關係，特別是與Faltings的delta-不變量和Hain-Reed的beta-不變量的關係。
• 在曲線族的全體族背景下，建立a_g與算術與幾何不變量之間的幾何與上同調框架。

提出的方法

• 分析曲面族C_g上Miller-Morita-Mumford類e和e₁所代表的自然2-形式。
• 比較全體jacobian上的辛2-形式與由C_g → M_g的相對切叢上的Arakelov度量所誘導的2-形式。
• 應用微分幾何技術研究模空間M_g上Kawazumi不變量a_g的二階變分。
• 利用關於不變量a_g的已知結果，推導其與Faltings的delta-不變量和Hain-Reed的beta-不變量的關係。
• 運用上同調與幾何方法，將代表e和e₁的2-形式用標準特徵類表示。
• 依賴辛幾何、Arakelov理論與模空間不變量之間的相互作用，建立新的恆等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 曲面族上Miller-Morita-Mumford類e和e₁的2-形式如何與Arakelov度量相關？
• RQ2 模空間M_g上Kawazumi不變量a_g的二階變分是什麼？如何使用幾何方法重新證明？
• RQ3 不變量a_g如何與Faltings的delta-不變量和Hain-Reed的beta-不變量相連？
• RQ4 如何比較全體jacobian上的辛2-形式與相對切叢上的Arakelov 2-形式？
• RQ5 代表e和e₁的2-形式在C_g → M_g上的幾何結構下，其精確的上同調解釋是什麼？

主要发现

• 本文為Kawazumi關於M_g上不變量a_g的二階變分結果提供了新且替代的證明，確認了其幾何重要性。
• 通過對全體族上2-形式的比較，確立了不變量a_g與Faltings的delta-不變量之間的直接聯繫。
• 由全體jacobian上的辛結構所導出的代表e和e₁的2-形式，與由Arakelov度量誘導的2-形式在上同調意義下一致（至多相差一個恰当形式）。
• 發現不變量a_g與Hain-Reed的beta-不變量密切相關，暗示模理論中存在更深層的算術-幾何對偶性。
• 研究表明，上同調類e和e₁可自然解釋為相對切叢上自然Hermitian度量的曲率形式。
• 分析確認，代表e和e₁的2-形式不僅上同調等價，且透過Arakelov度量在幾何上相關，從而豐富了它們的解釋。