[论文解读] Transition Semigroups of Banach Space Valued Ornstein-Uhlenbeck Processes

Beniamin Gołdys, Jan van Neerven|ArXiv.org|Jun 30, 2006

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 30被引用 21

一句话总结

本文建立了与巴拿赫空间值Ornstein-Uhlenbeck过程相关联的转移半群的关键性质——如强Feller性质、谱间隙和解析性——的显式条件。它将这些性质与底层$C_0$-半群$\mathbf{S}$在Cameron-Martin空间$H$上的限制$\mathbf{S}_H$的行为联系起来，表明$\mathbf{S}_H$-解析性是半群在$L^2(E, \mu_\infty)$中解析性的必要且充分条件，且在$\mathbf{S}$-不变性条件下，对强Feller和谱间隙性质也给出了类似刻画。结果推广并细化了具有耗散漂移的随机PDE的现有判据。

ABSTRACT

We investigate the transition semigroup of the solution to a stochastic evolution equation $dX(t) = AX(t)dt +dW_H(t)$, $t\ge 0,$ where $A$ is the generator of a $C_0$-semigroup $S$ on a separable real Banach space $E$ and $W_H$ is cylindrical white noise with values in a real Hilbert space $H$ which is continuously embedded in $E$. Various properties of these semigroups, such as the strong Feller property, the spectral gap property, and analyticity, are characterized in terms of the behaviour of $S$ in $H$. In particular we investigate the interplay between analyticity of the transition semigroup, $S$-invariance of $H$, and analyticity of the restricted semigroup $S_H$.

研究动机与目标

• 刻画巴拿赫空间值Ornstein-Uhlenbeck过程转移半群的强Feller性质、谱间隙和解析性。
• 在Cameron-Martin空间$H$上受限半群$\mathbf{S}_H$的基础上，建立这些性质的必要且充分条件。
• 通过将半群性质与$H$在$\mathbf{S}$下的不变性和解析性联系起来，推广并细化了具有耗散漂移的随机PDE的现有判据。
• 为当$E$为一般可分巴拿赫空间（不一定是希尔伯特空间）时分析转移半群提供统一框架。

提出的方法

• 分析由$P(t)\phi(x) = \mathbb{E}[\phi(S(t)x + \int_0^t S(t-s)\,dW_H(s))]$定义的转移半群$\mathbf{P} = \{P(t)\}_{t \geq 0}$，其中$W_H$是希尔伯特空间$H \subset E$上的圆柱Wiener过程。
• 研究巴拿赫空间$E$上的$C_0$-半群$\mathbf{S}$、其在$H$上的限制$\mathbf{S}_H$，以及与有限时间分布$\mu_t$相关的再生核希尔伯特空间$H_t$之间的相互作用。
• 使用李雅普诺夫方程$AX + XA^* = -Q$刻画$Q$-对称性和$H$的$\mathbf{S}$-不变性，将$A$的谱性质与$H$-不变性联系起来。
• 应用插值理论和BIP（正扇形区域内的有界解析性）性质，识别$\mathbf{S}_H$为解析的条件。
• 在假设$H$为$\mathbf{S}$-不变的条件下，证明$\mathbf{P}$在$L^2(E, \mu_\infty)$中解析当且仅当$\mathbf{S}_H$在$H$上解析。
• 在$C_b(E)$上使用混合拓扑$\tau_{\text{mixed}}$研究$\mathbf{P}$的$C_0$-半群结构，避免在上范数拓扑下强连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，巴拿赫空间值Ornstein-Uhlenbeck过程的转移半群是强Feller的？
• RQ2 Ornstein-Uhlenbeck半群的生成元在$L^2(E, \mu_\infty)$中何时具有谱间隙？
• RQ3 转移半群$\mathbf{P}$的解析性与Cameron-Martin空间$H$上受限半群$\mathbf{S}_H$的解析性之间的确切关系是什么？
• RQ4 $\mathbf{S}$-不变性如何影响转移半群的谱和正则性性质？
• RQ5 在一般巴拿赫空间中，确保不变测度$\mu_\infty$存在以及半群公式$P(t)\phi(x) = \int_E \phi(S(t)x + y)\,d\mu_t(y)$成立的条件是什么？

主要发现

• 在假设$H$为$\mathbf{S}$-不变的条件下，Ornstein-Uhlenbeck半群$\mathbf{P}$在$L^2(E, \mu_\infty)$中解析当且仅当受限半群$\mathbf{S}_H$在$H$上解析。
• 在$\mathbf{S}_H$为解析且$S(t) \circ i_H$的希尔伯特-施密特范数满足某种衰减条件时，$\mathbf{P}$的强Feller性质成立。
• 在$\mathbf{S}$-不变性条件下，$\mathbf{P}$的生成元在$L^2(E, \mu_\infty)$中的谱间隙性质等价于与不变测度$\mu_\infty$相关的再生核希尔伯特空间$H_\infty$中$A$的谱间隙。
• 当$E = L^p(\Omega)$且$p \in [2, \infty)$，$H = H_0^\alpha(\Omega)$时，只要$\alpha > \frac{d}{4} - \frac{1}{2}$且$\alpha$满足适当的Sobolev嵌入条件，则半群$\mathbf{P}$在$L^2(E, \mu_\infty)$中解析。
• $\int_0^\infty \|A^{-\beta/2} S(t)\|_{\mathscr{L}_2(L^2(\Omega))}^2 dt < \infty$的条件蕴含假设(H$\mu_\infty$)，而该假设足以保证$\mathbf{P}$在$L^2(E, \mu_\infty)$中解析。
• 当$E = L^2(\Omega)$且$H = H_0^\beta(\Omega)$，$\beta > \frac{d}{4} - \frac{1}{2}$时，半群$\mathbf{S}_H$在$H$上解析且为压缩的，从而确保$\mathbf{P}$的解析性。