[论文解读] TRiPoD (Temporal Relationalism incorporating Principles of Dynamics)

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用 16

一句话总结

本文提出TRiPoD（时间关系性结合动力学原理），对经典力学与量子力学进行重新表述，通过用基于变化（dQ^A）的关系性、无参数动力学取代依赖时间的结构，彻底消除时间的基本概念。该理论引入d-反-Routhian与d-近哈密顿形式体系，通过雅可比弧长元素重新定义动量与作用量，并在保持约束与哈密顿-雅可比理论的同时，解决背景无关理论中的时间问题。

ABSTRACT

Temporal Relationalism is that there is no time for the universe as a whole at the primary level. Time emerges rather at a secondary level; one compelling idea for this is Mach's: that time is to be abstracted from change. Temporal Relationalism leads to, and better explains, the well-known Frozen Formalism Problem encountered in GR and other background-independent theories at the quantum level. Abstraction from change is then a type of emergent time resolution of this. Moreover, the Frozen Formalism Problem is but one of the many Problem of Time facets, which are notoriously interconnected. The current article concerns modifications of physical formalism which ensure that once Temporal Relationalism is resolved, it stays incorporated. At the classical level, this involves modifying much of the Principles of Dynamics. I first introduce the anti-Routhian to complete the Legendre square of Lagrangian, Hamiltonian and Routhian. I next pass from velocities $\dot{Q}\mbox{}^{A}$ to changes d$Q^{A}$. Then Lagrangians are supplanted by Jacobi arc elements, Euler--Lagrange equations by Jacobi--Mach ones, and momentum requires redefining but actions remain unchanged. A differential (d) version of the Hamiltonian is required, giving rise to a variant of the Dirac approach based on a d-almost Hamiltonian subcase of the d-anti Routhian. On the other hand, the forms of the constraints themselves, and of Hamilton--Jacobi theory, remain unaltered.

研究动机与目标

• 通过将时间关系性完全嵌入动力学原理，解决背景无关理论中的时间问题。
• 在经典与量子形式体系中彻底消除任何基本或辅助的时间参数，代之以关系性变化（dQ^A）与几何结构。
• 利用微分形式与雅可比弧长元素，重新表述拉格朗日、哈密顿与Routh形式体系，保持物理内容的同时实现明显的参数无关性。
• 发展一种d-近哈密顿形式体系，既在经典上一致，又在量子力学上可行，确保在量化的整个过程中保持时间关系性。
• 将该框架扩展至包含Kuchař可观测量与半经典近似，使其可应用于量子宇宙学与广义相对论。

提出的方法

• 引入反-Routhian以完成勒让德平方，实现在关系性语境下拉格朗日、哈密顿与Routh形式体系之间的对偶性。
• 以微分变化（dQ^A）取代速度（dQ^A/dλ），从而获得基于配置空间几何的明显参数无关形式体系。
• 以雅可比弧长元素（ds = ||dQ||_M）取代拉格朗日量，并以雅可比-马赫方程替代欧拉-拉格朗日方程，实现无时间参数或标记变量的动力学描述。
• 通过d-反-Routhian重新定义动量，并引入哈密顿量的微分（d）形式，形成一个保持约束结构的d-近哈密顿子类。
• 保持约束形式与哈密顿-雅可比理论的原始形式，确保与标准方法的一致性，同时在基础层面实现关系性。
• 将该框架应用于有限模型（如极小超空间广义相对论），并通过几何量化解耦扩展至正则量子力学与半经典量子宇宙学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过将时间关系性完全嵌入动力学原理，解决量子引力中的时间问题？
• RQ2 在背景无关理论中，时间依赖的拉格朗日量与哈密顿量的正确关系性替代物是什么？
• RQ3 在关系性框架中，勒让德变换如何完成？反-Routhian在此过程中扮演何种角色？
• RQ4 哈密顿量的微分（d）形式能否保持约束结构，并支持一致的量化解耦？
• RQ5 在完全关系性、无参数的动力学中，Kuchař可观测量与哈密顿-雅可比形式如何适应？

主要发现

• d-近哈密顿形式体系提供了一种无时间、关系性的标准哈密顿量替代方案，保持约束结构并支持一致的量化解耦。
• 雅可比弧长元素（ds）取代拉格朗日量，由此导出的雅可比-马赫方程在不依赖任何时间参数或标记变量的情况下描述动力学。
• 动量通过d-反-Routhian重新定义，但作用量在新形式体系下保持不变，确保物理一致性。
• 约束与哈密顿-雅可比理论保持其标准形式，表明关系性可被嵌入而不改变这些形式体系的核心结构。
• 该框架成功扩展至极小超空间引力，并支持Kuchař可观测量的构建，实现关系性量子宇宙学。
• 该方法允许对量子宇宙学实现一致的半经典近似（TRiSQC），在经典关系动力学与量子理论之间架起桥梁。