[论文解读] Two new versions of Heron's Formula

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

History and Theory of Mathematics参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文通过使用线性代数和雅可比坐标，将三角形面积重新表达为质量加权边长和中线的形式，提出了赫罗恩公式的新形式——'赫罗恩–雅可比'与'赫罗恩–霍普夫'。它表明赫罗恩映射与边长到中线的对合映射可交换，统一了两种公式，并证明对赫罗恩映射进行对角化可恢复霍普夫纤维丛，从而给出肯德尔定理（三角形形状空间为球面）的新证明。

ABSTRACT

Recollect that Heron's formula for the area of a triangle given its sides has a counterpart given the medians instead, which carries an extra factor of $\frac{4}{3}$. On the one hand, we formulate the pair of these in Linear Algebra terms, showing that they are related by a sides-to-medians involution $J$, which we find to furthermore commute with the `Heron map' $H$ as visible in the expanded version of Heron. Upon further casting the pair of these in terms of mass-weighted Jacobi coordinates, we find moreover that they are placed on an exactly equal footing, the factor of $\frac{4}{3}$ having now cancelled out. This motivates the `Heron--Jacobi' version of Heron's formulae, for mass-weighted area in terms of mass-weighted sides and mass-weighted medians respectively. On the other hand, we show that diagonalizing the Heron map $H$ provides new derivations of, firstly, the famous Hopf map, and, secondly, of Kendall's Theorem that the space of triangles is a sphere. This occurs by the `Heron--Hopf' version of Heron's formula simplifying down to none other than the on-sphere condition. Thus we establish that -- both an important fibre bundle model, and a foundational theorem of Shape Theory: a widely applicable Differential Geometry and Topology topic -- arise together as consequences of just Heron's formula, Stewart's Theorem, and some elementary Linear Algebra manipulations. This working also accounts for the extra factor of 4 in the Hopf coordinate that is elsewise equal to the mass-weighted area in the 3-body problem context. It finally offers a new interpretation of the shape-theoretic ellipticity and anisoscelesness which realize the other two Hopf quantities: as eigenvectors shared by the Heron map $H$ and the sides-to-medians involution $J$.

研究动机与目标

• 通过使用质量加权雅可比坐标重新表述赫罗恩公式，使边长与中线处于对称地位。
• 建立赫罗恩映射与边长到中线对合映射之间的可交换关系，解决传统公式中 $\frac{4}{3}$ 因子的不一致问题。
• 证明对赫罗恩映射进行对角化可得到霍普夫纤维丛，并为肯德尔关于形状球面的定理提供新推导。
• 将形状理论中的偏心率与非等腰性解释为赫罗恩映射的特征向量，将其与霍普夫坐标联系起来。
• 将这些洞见推广至平面上 $N$-点构型的广义形状空间，提出更广泛的几何与拓扑框架。

提出的方法

• 使用赫罗恩矩阵 $\underline{\underline{H}}$ 重新表述赫罗恩公式，以边长表示面积。
• 通过斯图亚特定理引入边长到中线的对合映射 $\underline{\underline{J}}$，并证明其与 $\underline{\underline{H}}$ 可交换。
• 应用质量加权雅可比坐标，将边长与中线的表达式转换为等价的几何形式。
• 推导出'赫罗恩–雅可比'公式，其中 $\frac{4}{3}$ 因子被消去，使边长与中线处于对等地位。
• 对赫罗恩矩阵 $\underline{\underline{H}}$ 进行对角化，以恢复霍普夫映射与球面上的条件。
• 利用所得的霍普夫坐标，将形状理论量（面积、偏心率、非等腰性）解释为形状球面上的笛卡尔坐标轴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过质量加权雅可比坐标重新表述赫罗恩公式，以对称方式处理边长与中线？
• RQ2 赫罗恩映射与边长到中线对合映射之间的可交换性在代数与几何上具有何种意义？
• RQ3 能否仅通过线性代数方法，直接从赫罗恩公式推导出霍普夫纤维丛与肯德尔关于形状球面的定理？
• RQ4 当将偏心率与非等腰性解释为赫罗恩映射的特征向量时，它们在形状球面上扮演何种角色？
• RQ5 赫罗恩–霍普夫与赫罗恩–肯德尔–霍普夫公式能否推广至平面上的 $N$-点构型？

主要发现

• 赫罗恩–雅可比公式统一了以质量加权边长与中线表示的面积表达式，通过坐标变换消除了 $\frac{4}{3}$ 因子的不一致，使边长与中线处于对等地位。
• 赫罗恩映射 $\underline{\underline{H}}$ 与边长到中线的对合映射 $\underline{\underline{J}}$ 可交换，解释了赫罗恩公式中边长与中线版本之间的结构相似性。
• 对赫罗恩矩阵进行对角化可恢复霍普夫映射，且赫罗恩–霍普夫公式退化为球面上的条件，从而为肯德尔定理提供了新证明。
• 三角形的形状空间在拓扑上为球面，且具有标准的球面度量，该结论通过赫罗恩–霍普夫公式得到验证。
• 偏心率与非等腰性被识别为赫罗恩映射 $\underline{\underline{H}}$ 的特征向量，其特征子空间与对合映射 $\underline{\underline{J}}$ 相同，因此在几何上与面积具有同等地位。
• 广义的赫罗恩–霍普夫方法可推广至 $N$-点构型，表明 $N$-边形的形状空间为 $\mathbb{CP}^{N-2}$，并具有富比尼–斯图迪度量，从而推广了肯德尔定理。