[论文解读] The Smallest Shape Spaces. III. Triangles in 2- and 3-d

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

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一句话总结

本文利用质心加权的雅可比坐标、Hopf纤维丛和形状空间理论，为二维与三维中的三角形构建了一个全面的几何与拓扑框架。推导出赫伦公式的新型形式，将直角三角形识别为形状球面上三个相互相切的帽状圆周，并证明随机三角形为钝角三角形的概率恰好为 3/4，同时将结果推广至最大角流和三维中的分层丛结构。

ABSTRACT

This is an innovative treatise on triangles, resting upon 1) 3-body problem techniques including mass-weighted relative Jacobi coordinates. 2) Part I's detailed layer-by-layer topological and geometrical study of Kendall-type shape spaces - configuration spaces of all possible shapes - which, for triangles, are (pieces of) spheres. 3) Hopf mathematics. Triangles are moreover prototypical through being the smallest models which carry relative-angle as well as length-ratio information. Both 1) and 3) produce insightful new versions of Heron's formula, 3)'s simultaneously providing new foundations for 2). Medians, and regular triangles bounding between tall and flat triangles, also play prominent roles. Right triangles form three kissing cap-circles on the shape sphere, from which a shape-theoretic answer to the well-known conundrum of what is the probability that a triangle is obtuse very readily follows: 3/4. The differential-geometric aspects of this answer moreover generalize to numerous variant problems. Hopf mathematics additionally gives a general bundle section interpretation to Kendall's iconic spherical blackboard of vertex-unlablelled mirror-image-identified triangles, and of its two variants where one of these two conditions are dropped. We attribute a monopole to each of these spaces and to the full shape sphere, one due to Dirac, one to Iwai and the other two are new to this paper. We finally make insightful comparison of triangles in 2-$d$ with a) Part II's 4 points on the line. b) Triangles in 3-$d$, which are particularly significant as the smallest model exhibiting stratification. Stratified manifold-sheaf pairs - sheaves adding useful local and global structure to general bundles - lie at the heart of Shape Theory's future development.

研究动机与目标

• 通过三体问题与形状理论中的技术，建立二维与三维三角形形状空间的基础几何与拓扑处理方法。
• 通过引入镜像识别与粒子不可区分性，扩展肯德尔的球形形状空间（肯德尔的黑板），从而得到新的商空间。
• 对形状球面上的直角三角形进行微分几何表征，并推导出钝角三角形概率为 3/4。
• 证明三维三角形由于非平凡的稳定子群，需要分层流形-层对结构，超越标准纤维丛的范畴。
• 统一形状理论概念与单极子结构（狄拉克型、岩井型及新类型），并将其应用于配置空间的拓扑与几何。

提出的方法

• 利用三体问题中的质心加权相对雅可比坐标，对二维与三维中的三角形构型进行参数化。
• 应用Hopf纤维丛将形状球面解释为一个主U(1)-丛，从而实现对形状空间拓扑的几何处理。
• 将形状球面构造为配置空间的商空间，将其识别为2-球面或其商空间（如RP²、月牙形、等腰三角形）。
• 将直角三角形表征为形状球面上三个两两相切的帽状圆周，其内部区域对应钝角三角形。
• 在形状球面上引入最大角流，以将钝角概率推广至任意最大角的情形。
• 应用层与一般丛理论处理三维三角形配置空间中的分层结构，其中SO(3)在共线构型上的作用非均匀。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机三角形为钝角三角形的概率是多少？能否从形状球面出发，通过几何方法推导出该结果？
• RQ2 在拓扑与几何结构上，二维与三维三角形形状空间有何不同，特别是关于分层结构的差异？
• RQ3 中线、面积与周长在形状球面的微分几何中扮演何种角色？
• RQ4 如何利用Hopf纤维丛与单极子结构来解释和分类包含镜像识别与不可区分性识别的形状空间？
• RQ5 三维三角形构型在何种意义上需要层理论或广义丛结构的处理方式，而不能仅依赖标准纤维丛？

主要发现

• 随机三角形为钝角三角形的概率恰好为 3/4，其依据是钝角三角形占据形状球面上三个两两相切的帽状圆周内部区域。
• 直角三角形在几何上被实现为形状球面上三个两两相切的帽状圆周，形成对称构型。
• 二维中三点的形状空间在拓扑上为一个2-球面，经镜像识别与不可区分性识别后，得到RP²、月牙形以及一个等腰球面三角形（莱布尼茨空间）。
• 在三维中，由于不同稳定子群（共线构型上为SO(2)，非共线构型上为SO(3)）的存在，配置空间表现出分层结构，因此需要使用层或广义丛结构。
• 本文引入三种单极子结构：一种狄拉克型、一种岩井型，以及两种新类型，分别对应于三种形状空间商空间（完整球面、镜像识别、完全识别）。
• 通过形状理论技术推导出赫伦公式的新型形式，同时结合边长比与相对角度，扩展了经典结果。