[论文解读] Alice in Triangleland: Lewis Carroll's Pillow Problem and Variants Solved on Shape Space of Triangles

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Mathematics and Applications参考文献 14被引用 13

一句话总结

本论文通过将三角形形状映射到凯ndall形状空间的球面上，并采用均匀概率分布，解决了刘易斯·卡罗尔的靠垫问题——即随机三角形为钝角三角形的概率。结果得出 Prob(Obtuse) = 3/4，并进一步利用球面上的微分几何方法，解决了涉及等腰、高型、扁平型及直角三角形的变体问题。

ABSTRACT

We provide a natural answer to Lewis Carroll's pillow problem of what is the probability that a triangle is obtuse, Prob(Obtuse). This arises by straightforward combination of a) Kendall's Theorem - that the space of all triangles is a sphere - and b) the natural map sending triangles in space to points in this shape sphere. The answer is 3/4. Our method moreover readily generalizes to a wider class of problems, since a) and b) both have many applications and admit large generalizations: Shape Theory. An elementary and thus widely accessible prototype for Shape Theory is thereby desirable, and extending Kendall's already-notable prototype a) by demonstrating that b) readily solves Lewis Carroll's well-known pillow problem indeed provides a memorable and considerably stronger prototype. This is a prototype of, namely, mapping flat geometry problems directly realized in a space to shape space, where differential-geometric tools are readily available to solve the problem and then finally re-interpret it in the original `shape-in-space' terms. We illustrate this program's versatility by posing and solving a number of variants of the pillow problem. We first find Prob(Isosceles is Obtuse). We subsequently define tall and flat triangles, as bounded by regular triangles whose base-to-median ratio is that of the equilateral triangle. These definitions have Jacobian and Hopfian motivation as well as entering Kendall's own considerations of `splinters': almost-collinear triangles. We find that Prob(Tall) = 1/2 = Prob(Flat) is immediately apparent from regularity's symmetric realization in shape space. However, Prob(Obtuse and Flat), Prob(Obtuse is Flat) and all other nontrivial expressions concerning having any two of the properties mentioned above, or having one of these conditioned on another, constitute nontrivial variants of the pillow problem, and we solve them all.

研究动机与目标

• 为刘易斯·卡罗尔经典靠垫问题提供一种自然且几何化的解法：在均匀分布下，随机三角形为钝角三角形的概率是多少？
• 将此解法扩展至更广泛的几何概率问题，涵盖三角形形状属性（如等腰、钝角、锐角、高型、扁平型）的联合分布。
• 展示形状理论（特别是凯ndall的形状球面与雅可比坐标）在统一的微分几何框架下求解几何概率问题的强大与普适性。
• 计算涉及多种形状属性组合的条件概率（如钝角且扁平、已知为钝角时为高型），超越原始问题的范畴。
• 建立一个广泛可及的形状理论方法原型，使用球面上的初等微分几何与对称性论证，推动几何形状理论的应用。

提出的方法

• 利用凯ndall定理：二维中所有带标签且非镜像对称的三角形构成的空间在拓扑上等价于一个2-球面（即形状球面），并赋予均匀概率测度。
• 应用雅可比坐标参数化三角形构型，推导出锐角、直角与钝角三角形之间的球面边界，这些边界形成三个两两相切的球帽区域。
• 将几何属性（如等腰、直角、正三角形、共线）映射到形状球面上的特定曲线与区域，从而通过弧长与面积积分实现几何概率的计算。
• 利用霍普夫映射与霍普夫纤维丛结构，定义并分析规则性与对称性，特别是通过底边与中线之比定义‘高型’与‘扁平型’三角形。
• 采用微分几何积分方法（如球面上的弧长与面积积分）计算概率，关键表达式涉及反正弦函数，如 arcsin(1/3) 与 arcsin(1/√3)。
• 在形状球面上应用条件概率公式，如 Prob(A|B) = Prob(A ∩ B)/Prob(B)，以计算非平凡的联合与条件概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在形状空间上采用均匀分布时，随机选取的三角形为钝角三角形的概率是多少？
• RQ2 在所有三角形形状的均匀分布下，等腰三角形为钝角三角形的概率是多少？
• RQ3 三角形为高型或扁平型的概率是多少？这些概率如何与钝角与锐角三角形的分布相关联？
• RQ4 在已知三角形为钝角或锐角的条件下，其为高型或扁平型的条件概率是多少？
• RQ5 在形状球面上的直角三角形曲线上采用均匀分布时，直角三角形为扁平型或高型的概率是多少？

主要发现

• 随机三角形为钝角三角形的概率恰好为 3/4，这是由形状球面上的均匀测度得出的，其中钝角区域覆盖了球面总面积的四分之三，由三个球帽构成。
• 等腰三角形为钝角三角形的概率为 1/3，该值通过形状球面上钝角等腰三角形的弧长与等腰曲线总长之比计算得出。
• 三角形为高型的概率为 1/2，为扁平型的概率也为 1/2，这是由于形状球面上正三角形构型具有反射对称性所致。
• 在已知三角形为钝角的条件下，其为扁平型的条件概率约为 0.567，或精确表示为 2/3 − α，其中 α = (1/π) arcsin(1/√3)。
• 在已知三角形为钝角的条件下，其为高型的条件概率约为 0.433，或精确表示为 1/3 + α，其中 α 同上。
• 直角三角形为扁平型的概率约为 0.2163，或精确表示为 (2/π) arcsin(1/3)，其互补概率（即为高型）约为 0.7837。