[论文解读] Universal Meshes: A new paradigm for computing with nonconforming triangulations

Ramsharan Rangarajan, Adrián J. Lew|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2012

Lattice Boltzmann Simulation StudiesEngineering参考文献 25被引用 20

一句话总结

本文提出通用网格——一种在演化曲面域上进行高阶有限元计算的新框架，采用固定背景三角剖分。通过将背景网格三角形经由最近点投影和顶点松弛映射到高阶曲线单元，实现无需重剖分的拟合高阶离散化，达到最优收敛率，并可高效模拟移动边界问题，仅需一张通用网格。

ABSTRACT

We describe a method for discretizing planar C2-regular domains immersed in non-conforming triangulations. The method consists in constructing mappings from triangles in a background mesh to curvilinear ones that conform exactly to the immersed domain. Constructing such a map relies on a novel way of parameterizing the immersed boundary over a collection of nearby edges with its closest point projection. By interpolating the mappings to curvilinear triangles at select points, we recover isoparametric mappings for the immersed domain defined over the background mesh. Indeed, interpolating the constructed mappings just at the vertices of the background mesh yields a fast meshing algorithm that involves only perturbing a few vertices near the boundary. For the discretization of a curved domain to be robust, we have to impose restrictions on the background mesh. Conversely, these restrictions define a family of domains that can be discretized with a given background mesh. We then say that the background mesh is a universal mesh for such a family of domains. The notion of universal meshes is particularly useful in free/moving boundary problems because the same background mesh can serve as the universal mesh for the evolving domain for time intervals that are independent of the time step. Hence it facilitates a framework for finite element calculations over evolving domains while using a fixed background mesh. Furthermore, since the evolving geometry can be approximated with any desired order, numerical solutions can be computed with high-order accuracy. We demonstrate these ideas with various numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种针对嵌入非拟合三角剖分中的平面C²-正则域的鲁棒、高阶离散化方法。
• 通过使用单一背景网格作为通用网格，消除时间依赖或演化域问题中的重剖分需求。
• 通过在浸入域上构建精确拟合的曲线单元，实现有限元解的最优收敛率。
• 通过精确逼近曲边界，实现对边界表示敏感问题（如板弯曲）的高阶精度。
• 提供一种系统框架，仅通过背景网格的微小扰动，构建等参数映射和高阶曲线有限元。

提出的方法

• 利用边界边的最近点投影，将背景网格三角形映射到精确拟合浸入域的曲线单元。
• 识别至少有一个顶点位于域内的三角形，并将两个顶点均在域外的边通过最近点投影映射到边界。
• 将域内及靠近边界的顶点向远离边界方向松弛，以改善单元质量并防止退化三角形的形成。
• 在选定点（如顶点）处插值所构建的曲线映射，以在背景网格上恢复等参数映射。
• 使用局部扰动映射 𝔪ₕ 在边界附近窄区域对顶点进行松弛，扰动半径 r 选择为若干倍的网格尺寸。
• 确保背景网格满足几何条件（如锐角条件、足够分辨率），以保证同胚映射的存在性和投影的明确定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用固定背景网格，在无需重剖分的情况下，为一族演化曲面域生成高阶、精确拟合的离散化？
• RQ2 如何在非拟合三角剖分上构建曲线有限元，以实现最优收敛率？
• RQ3 背景网格需满足哪些几何与网格化条件，才能作为一类浸入域的通用网格？
• RQ4 浸入有限元方法中，高阶解的精度在多大程度上依赖于边界表示的保真度？
• RQ5 在边界附近进行顶点松弛，能否在保持几何拟合性的同时防止单元质量退化？

主要发现

• 该方法仅通过在非拟合背景网格上对顶点和边进行扰动，即可构建精确拟合的曲线有限元，实现最优收敛率。
• 通过在网格顶点处插值曲线映射，该方法恢复了等参数映射，从而在相同背景网格上支持高阶有限元方法。
• 同一背景网格可作为随时间演化域的通用网格，其适用时间区间与时间步长无关，从而消除了重剖分的需要。
• 将顶点从边界向内松弛，可防止形成形状不良或退化的单元，尤其在顶点靠近边界时效果显著。
• 由于网格拓扑固定，该方法保持了稀疏矩阵结构和连接模式，显著提升了计算效率。
• 该方法在边界精度对解质量有关键影响的问题中尤为有效，例如简支圆形板的弯曲问题。