[论文解读] Unnormalize conical Kähler-Ricci flow

Liangming Shen|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 13

一句话总结

该论文在具有简单法向交叉除子的射影流形上建立了未归一化锥状凯勒-里奇流的最大存在时间，将Tian-Zhang与Song-Tian的结果推广至锥状情形。证明了当上同调类保持正定时，流存在至时间 $ T_0 $，并在扭曲canonical丛为大或大且拟正时，展示了流收敛至一个锥状凯勒-爱因斯坦当前置。

ABSTRACT

We generalize the maximal time existence of Kähler-Ricci flow in Tian-Zhang and Song-Tian to conical case. Furthermore, if the twisted canonical bundle $K_{M}+(1-β)[D]$ is big or big and nef, we can expect more on the limit behaviors of such conical Kähler-Ricci flow. Moreover, the results still hold for simple normal crossing divisor.

研究动机与目标

• 将凯勒-里奇流的最大存在时间结果推广至锥状情形，推广Tian-Zhang与Song-Tian的工作。
• 分析当扭曲canonical丛 $ K_M + \big(1 - \beta\big)[ D] $ 为大或大且拟正时，未归一化锥状凯勒-里奇流的长时间行为。
• 在具有简单法向交叉除子的流形上，建立未归一化锥状凯勒-里奇流解的存在性与正则性。
• 在给定几何假设下，证明极限锥状凯勒-爱因斯坦当前置的唯一性。
• 通过光滑逼近技术与上同调分析，将凯勒-里奇流的分析框架扩展至锥度量。

提出的方法

• 将Tian-Zhang的上同调方法适配至锥状情形，将 $ T_0 $ 定义为使得上同调类 $ [\omega_0] - t(c_1(M) - \sum(1 - \beta_i)[D_i]) $ 保持正定的时间上确界。
• 采用Liu-Zhang的光滑逼近方法处理锥度量，基于Campana-Guenacia-Pâun的构造，将初始锥度量逼近为光滑度量。
• 应用拉普拉斯算子与 $ C^{2,\alpha} $-估计，控制逼近解的正则性，并证明其收敛至具有锥奇点的解。
• 利用最大值原理与势函数差的 $ L^2 $-估计，证明极限当前置的唯一性。
• 通过凯勒势 $ \varphi $ 分析流，使用方程 $ \frac{\partial}{\partial t}(\varphi + k\chi) = \log \frac{(\omega_t + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}(\varphi + k\chi))^n (||S||^2 + \epsilon^2)^{1 - \beta}}{\Omega} - (\varphi + k\chi) $。
• 取极限 $ \epsilon \to 0 $ 以恢复锥状极限当前置，证明其与体积形式及初始度量选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有简单法向交叉除子的射影流形上，未归一化锥状凯勒-里奇流的最大存在时间为何？
• RQ2 流的极限行为如何依赖于扭曲canonical丛 $ K_M + \sum(1 - \beta_i)[D_i] $ 的几何性质？
• RQ3 当扭曲canonical丛为大或大且拟正时，未归一化锥状凯勒-里奇流是否收敛至锥状凯勒-爱因斯坦当前置？
• RQ4 极限锥状凯勒-爱因斯坦当前置是否依赖于初始锥度量的选择？
• RQ5 用于不可约除子的技术能否推广至简单法向交叉除子的情形？

主要发现

• 未归一化锥状凯勒-里奇流在最大时间区间 $[0, T_0)$ 上存在且唯一，其中 $ T_0 = \sup\{t \mid [\omega_0] - t(c_1(M) - \sum(1 - \beta_i)[D_i]) > 0\} $。
• 解在除子 $ D_i $ 外光滑，并在这些除子上具有锥意义下的 $ C^{2,\alpha} $-正则性。
• 若扭曲canonical丛 $ K_M + \sum(1 - \beta_i)[D_i] $ 为大，则流收敛至一个极限凯勒当前置，该当前置为锥状凯勒-爱因斯坦当前置。
• 若扭曲canonical丛为大且拟正，则极限当前置为具有相同曲率条件的锥状凯勒-爱因斯坦当前置。
• 极限锥状凯勒-爱因斯坦当前置唯一，且与初始锥度量及体积形式的选择无关。
• 通过结合光滑逼近与逼近过程中保持曲率下界，结果可推广至简单法向交叉除子的情形。