[论文解读] Virtual Element Methods for hyperbolic problems on polygonal meshes

Giuseppe Vacca|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于在多边形网格上求解二阶双曲问题（特别是线性波动方程）的虚拟元方法（VEM）。通过使用 $H^1$-和 $L^2$-符合的离散双线性形式构造稳定半隐式和全隐式格式，该方法在 $H^1$-半范数和 $L^2$-范数下均实现了最优收敛率，数值验证结果证实了其精度与鲁棒性，尤其在使用 Bathe 方法进行时间积分时优于 Newmark 方法。

ABSTRACT

In the present paper we develop the Virtual Element Method for hyperbolic problems on polygonal meshes, considering the linear wave equations as our model problem. After presenting the semi-discrete scheme, we derive the convergence estimates in H^1 semi-norm and L^2 norm. Moreover we develop a theoretical analysis on the stability for the fully discrete problem by comparing the Newmark method and the Bathe method. Finally we show the practical behaviour of the proposed method through a large array of numerical tests.

研究动机与目标

• 将虚拟元方法（VEM）扩展至双曲问题，特别是线性波动方程，适用于一般多边形网格。
• 基于多项式投影构造可计算的离散双线性形式，发展半隐式 VEM 格式。
• 分析半隐式问题在 $H^1$-半范数和 $L^2$-范数下的收敛性。
• 研究采用 Newmark 和 Bathe 时间积分方法的全隐式格式的稳定性和收敛性。
• 通过在不同多项式次数和时间步长下的 Voronoi 网格上进行大量数值实验，验证理论结果。

提出的方法

• 该方法通过自由度和到多项式空间的投影定义虚拟元空间，从而在无需显式了解非多项式基函数的情况下计算离散双线性形式。
• 通过梯度投影构造离散 $H^1$-双线性形式，而 $L^2$-双线性形式则采用文献 [1] 中的技术以确保最优精度。
• 通过变分方式弱式地施加波动方程，推导出时间方向的常微分方程系统，形成半隐式格式。
• 对于全隐式格式，应用 Newmark 和 Bathe 方法作为时间积分器，并对两者的稳定性和收敛性进行分析。
• 该方法满足片测试（patch test），即使在非凸多边形单元上也能保持最优收敛性。
• 数值实验采用 Voronoi 网格，计算 $k=1$ 和 $k=2$ 多项式次数下的误差范数 $E^{1}_{h, au}$ 和 $E^{0}_{h, au}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟元方法能否成功扩展至多边形网格上的双曲问题（如线性波动方程）？
• RQ2 VEM 半隐式格式在多边形单元上的 $H^1$-半范数和 $L^2$-范数下的收敛行为如何？
• RQ3 在全隐式 VEM 格式中，Newmark 和 Bathe 时间积分方法在稳定性和精度方面有何比较？
• RQ4 当使用非稳定化质量矩阵时，VEM 是否仍能保持最优收敛性？
• RQ5 该方法能否有效处理显式时间积分中的虚假高频振荡？

主要发现

• VEM 半隐式格式在 $H^1$-半范数和 $L^2$-范数下均实现了最优收敛率，误差随 $h^k$ 减小，其中 $k=1,2$，与理论预测一致。
• 对于 $k=1$，$H^1$-误差 $E^{1}_{h, au}$ 在 $\tau=1/40$ 时稳定在约 $3.38 \times 10^{-2}$；而对于 $k=2$，其值降至 $7.93 \times 10^{-4}$，表明实现了最优收敛。
• $L^2$-误差 $E^{0}_{h, au}$ 在 $k=2$ 时，从 $\tau=1/5$ 时的 $8.14 \times 10^{-3}$ 降低至 $\tau=1/40$ 时的 $5.77 \times 10^{-6}$，证实了最优收敛阶。
• Bathe 方法在消除解中的虚假振荡方面优于 Newmark 的梯形规则，即使在较小的 $\mathrm{CFL}$ 数值下也表现更优。
• 非稳定化双线性形式产生的误差与稳定化版本非常接近，但质量矩阵可能变得奇异，限制了其在 Newmark 格式中 $\beta<1/4$ 时的使用。
• 数值实验表明，VEM 在多边形网格（包括非凸单元）上保持了精度与稳定性，并支持任意多边形单元，且不损失收敛阶。