[论文解读] Viscosity Solutions for HJB Equations on the Process Space

Jianjun Zhou, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2024

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对在过程空间上定义的完全非线性、二阶、路径相关Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的新黏性解框架，使得具有共同噪声和退化扩散的平均场控制问题得以处理。通过在测试函数中引入一个奇异的、绝对连续的分量，作者在仅满足Lipschitz连续性条件下建立了存在性与比较原理，从而确保了黏性解的唯一性以及HJB方程的适定性。

ABSTRACT

In this paper we investigate a path dependent optimal control problem on the process space with both drift and volatility controls, with possibly degenerate volatility. The dynamic value function is characterized by a fully nonlinear second order path dependent HJB equation on the process space, which is by nature infinite dimensional. In particular, our model covers mean field control problems with common noise as a special case. We shall introduce a new notion of viscosity solutions and establish both the existence and the comparison principle, under merely Lipschitz/Holder continuity assumptions. The main feature of our notion is that, besides the standard smooth part, the test function consists of an extra singular component which allows us to handle the second order derivatives of the smooth test functions without invoking the Crandall-Ishii lemma. We shall use the doubling variable arguments, combined with the Ekeland-Borwein-Preiss variational principle in order to overcome the noncompactness of the state space. A smooth gauge-type function on the path space is crucial for our estimates.

研究动机与目标

• 为随机控制中出现的完全非线性、二阶、路径相关HJB方程（具有路径相关性和退化扩散）缺乏稳健的黏性解理论提供解决方案。
• 将黏性解理论的应用范围扩展至包含共同噪声的平均场控制问题，这一框架此前未被标准HJB理论涵盖。
• 在仅要求最小正则性假设——即Lipschitz连续性——的条件下，建立比较原理并证明黏性解的唯一性，无需依赖光滑性或紧致性。
• 提出一种新的测试函数结构，其中包含一个奇异的、绝对连续的时间分量，以绕过二阶导数估计中的技术障碍。
• 确保由共同噪声诱导的平均场控制所生成的Wasserstein空间上HJB方程的适定性。

提出的方法

• 提出一种新的黏性解概念，其中测试函数被分解为光滑部分与一个奇异的、绝对连续时间分量，以在不使用Ishii引理的情况下处理二阶导数。
• 结合使用加倍变量法与Ekeland-Borwein-Preiss变分原理，以克服路径空间的非紧致性。
• 在路径空间上构造一个光滑的测度型函数，以控制估计并确保比较原理论证中的统一有界性。
• 借鉴常数扩散情形下的变换思想，以启发测试函数中奇异分量的构造。
• 精心设计奇异分量以抵消HJB方程中的扩散项，从而在加倍变量论证中实现对二阶导数项的有效控制。
• 利用状态过程与控制过程之间联合分布的依赖结构，在路径相关设定下推导出相关估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在过程空间上具有退化扩散的完全非线性、二阶、路径相关HJB方程建立黏性解理论？
• RQ2 在仅满足Lipschitz连续性而无需光滑性或紧致性假设的条件下，如何建立比较原理？
• RQ3 在无限维HJB方程中，测试函数中的奇异、绝对连续分量在处理二阶导数时起什么作用？
• RQ4 该框架能否将具有共同噪声的平均场控制问题作为特例涵盖？
• RQ5 在最小正则性假设下，动态值函数是否是HJB方程的唯一黏性解？

主要发现

• 作者在仅假设Lipschitz连续性的条件下，为HJB方程建立了比较原理，这一条件显著弱化了文献中以往的假设。
• 证明了路径相关最优控制问题的动态值函数是HJB方程的唯一黏性解。
• 新提出的测试函数结构（由光滑部分与奇异的、绝对连续分量组成）能够绕过Ishii引理，并有效控制二阶导数项。
• 该框架确保了由共同噪声诱导的平均场控制所生成的Wasserstein空间上HJB方程的适定性。
• 通过Ekeland-Borwein-Preiss变分原理与路径空间上精心构造的测度函数，成功克服了状态空间的非紧致性。
• 结果推广了现有的平均场控制黏性解理论，覆盖了漂移与扩散控制，且允许扩散项退化。