[论文解读] Witten deformation for Hamiltonian loop group spaces, I

Yiannis Loizides, Yanli Song|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用 5

一句话总结

该论文为具有 $K\ltimes\Gamma$-作用的非紧流形上的旋-c Dirac 算子建立了 Fredholm 性质，其中 $K$ 为紧致群，$\Gamma$ 为离散群。将此结果应用于哈密顿环李群空间，表明指标配对 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 属于极大环面 $T$ 的表示环的正式完成 $R^{-\infty}(T)$，并在仿射 Weyl 群作用下表现出反对称性，从而将其识别为环李群的投影正能表示环中的元素。

ABSTRACT

We prove a Fredholm property for spin-c Dirac operators $\mathsf{D}$ on non-compact manifolds satisfying a certain condition with respect to the action of a semi-direct product group $K\ltimes \Gamma$, with $K$ compact and $\Gamma$ discrete. We apply this result to an example coming from the theory of Hamiltonian loop group spaces. In this context we prove that a certain index pairing $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ yields an element of the formal completion $R^{-\infty}(T)$ of the representation ring of a maximal torus $T \subset G$; the resulting element has an additional antisymmetry property under the action of the affine Weyl group, indicating $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ corresponds to an element of the ring of projective positive energy representations of the loop group.

研究动机与目标

• 为在特定群作用下的非紧流形上的旋-c Dirac 算子建立 Fredholm 性质。
• 在哈密顿环李群空间的背景下分析指标配对 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$。
• 证明所得指标属于极大环面 $T$ 的表示环的正式完成 $R^{-\infty}(T)$。
• 证明指标在仿射 Weyl 群作用下具有反对称性。
• 将指标配对识别为环李群的投影正能表示环中的元素。

提出的方法

• 利用 Witten 变形技术分析非紧流形上旋-c Dirac 算子的谱性质。
• 将 Fredholm 性质应用于配备半直积作用 $K\ltimes\Gamma$ 的流形，其中 $K$ 为紧致群，$\Gamma$ 为离散群。
• 通过 K-理论中的类 $[\mathcal{X}]$ 和 Dirac 算子类 $[\mathsf{D}]$ 构造指标配对 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$。
• 分析指标在仿射 Weyl 群作用下的变换性质，揭示其反对称性。
• 依赖正式完成 $R^{-\infty}(T)$ 来处理环李群表示背景下无穷维表示的问题。
• 运用等变 K-理论与非紧空间上的指标理论中的几何与分析技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 $K\ltimes\Gamma$-作用的非紧流形上的旋-c Dirac 算子具备 Fredholm 性质？
• RQ2 在哈密顿环李群空间的背景下，指标配对 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 如何表现？
• RQ3 所得指标在多大程度上属于极大环面表示环的正式完成 $R^{-\infty}(T)$？
• RQ4 指标在仿射 Weyl 群作用下表现出何种对称性质？
• RQ5 指标配对能否被解释为环李群的投影正能表示环中的元素？

主要发现

• 旋-c Dirac 算子 $\mathsf{D}$ 在具有指定 $K\ltimes\Gamma$-作用的非紧流形上满足 Fredholm 性质。
• 指标配对 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 被证明属于极大环面 $T$ 的表示环的正式完成 $R^{-\infty}(T)$。
• 指标在仿射 Weyl 群作用下表现出非平凡的反对称性。
• 此反对称性表明指标对应于环李群的投影正能表示环中的一个良定义元素。
• 该构造通过非紧流形上的指标理论，为这些表示提供了几何与分析实现。
• 该结果将 Witten 变形技术的应用范围扩展至哈密顿环李群空间与无穷维表示理论。