[論文レビュー] 2d Wall-Crossing, R-twisting, and a Supersymmetric Index

Sergio Cecotti, Cumrun Vafa|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、2D ${\cal N}=2$ 理論における時間に依存する超対称量子力学の枠組みを構築し、時間に沿ってRchargeをねじる（R-twisting）ことで、カップリングの変形に対して不変な超対称インデックス $I_k$ を導出する。このインデックスは、UVにおけるRchargeスペクトルとIRにおけるBPSソリトンの degeneracy を、位相順序付きモノドロミー行列を介して結びつける。壁交叉現象の経路積分による導出が可能であり、tt*幾何学に依存しない。

ABSTRACT

Starting from N=2 supersymmetric theories in 2 dimensions, we formulate a novel time-dependent supersymmetric quantum theory where the R-charge is twisted along the time. The invariance of the supersymmetric index under variations of the action for these theories leads to two predictions: In the IR limit it predicts how the degeneracy of BPS states change as we cross the walls of marginal stability. On the other hand, its equivalence with the UV limit relates this to the spectrum of the U(1) R-charges of the Ramond ground states at the conformal point. This leads to a conceptually simple derivation of results previously derived using tt* geometry, now based on time-dependent supersymmetric quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 時間に依存する超対称量子力学モデルを構築し、2D ${\cal N}=2$ 理論における超対称性の動的記述を可能にする。
• 作用の連続的変形に対して不変な超対称インデックス $I_k$ を定義し、UVとIRの物理を結ぶ。
• 経路積分の不変性を用いて、BPS状態の degeneracy に対する壁交叉公式を導出する。tt*幾何学に依存しない。
• コンformal点におけるU(1) Rchargeスペクトルと、IRにおける真空間を接続するソリトンの数の間の直接的な対応関係を確立する。

提案手法

• Rchargeが位相因子 $e^{2\pi i k t / \beta}$ を介して時間に依存するようにねじられた時間に依存する超対称代数を導入し、時間発展するハミルトニアンを導出する。
• 超対称インデックス $I_k = \mathrm{Tr}\, M^k$ を定義し、ここで $M$ はソリトン演算子 $S_{ab} = I + N_{ab} T_{ab}$ の位相順序付き積である。$T_{ab}$ は真空を移動させる。
• Parisi–Sourlas超対称性を用いた経路積分形式を構築し、作用の連続的変形に対して不変であることを保証する。
• 断熱極限（$\lambda \to \infty$）を用いて、時間発展核とtt*接続を関係づけ、シュレディンガー方程式の解としての時間発展核 $S_{t,t'}$ を導出する。
• 時間に依存するシュレディンガー方程式の解としての時間発展核 $S_{t,t'}$ を導出する。
• 逆発展核 $S^{-1}_{t',t}$ が $(S^{-1}_{t',t})^T + S^{-1}_{t',t} = C$ を満たすことを示し、$C$ は $A_n$ のカルタン行列である。これにより、BPSスペクトルのリー代数的構造が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2D ${\cal N}=2$ 理論におけるRねじりを記述できる、時間に依存する超対称量子力学の枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 超対称インデックス $I_k$ は、UVにおけるRchargeスペクトルとIRにおけるBPSソリトンの degeneracy をどのように結びつけるか？
• RQ3 作用のカップリング変形に対して経路積分が不変であるという性質が、BPS状態の degeneracy に対する壁交叉公式をどのように導くか？
• RQ4 位相順序付きソリトン演算子の積から得られるモノドロミー行列 $M$ は、経路積分形式によって再現可能か？
• RQ5 時間発展核とtt*幾何学との関係において、その明確な数学的構造（例：リー代数的構造）は何か？

主な発見

• 超対称インデックス $I_k = \mathrm{Tr}\, M^k$ は、コンformal極限におけるUVのラムド状態のRcharge $q_a$ の和 $\exp(2\pi i k q_a)$ を計算する。
• モノドロミー行列 $M = T\left(\prod_{ab} S_{ab}\right)$ は、位相順序付きBPSソリトンの寄与を符号化し、カップリングの変化に対して不変である。
• 壁交叉公式 $N_{ac} \to N_{ac} \pm N_{ab}N_{bc}$ は、中央電荷の位相が再順序付けられるとき $M$ が不変であるという要請から自然に導かれる。
• 時間発展核 $S_{t,t'}$ は時間に依存するシュレディンガー方程式を満たす。
• 逆発展核 $S^{-1}_{t',t}$ は $(S^{-1}_{t',t})^T + S^{-1}_{t',t} = C$ を満たし、$C$ は $A_n$ のカルタン行列である。これにより、$A_n$ 最小模型の極限におけるBPSスペクトルのリー代数的起源が確認される。
• 経路積分によるインデックスの導出は、tt*幾何学の結果と一致する。$Q$行列は実反対称であり、$SL(n,\mathbb{Z})$ のカルタン対合対称性と整合的である。