[論文レビュー] BPS Wall Crossing and Topological Strings

Sergio Cecotti, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、ストリング双対性およびA-brane上のChern-Simons理論を用いて、4次元N=2ゲージ理論におけるBPS状態の degeneracy と twistorial Calabi-Yau三様体上のオープンAモデルトポロジカル弦振幅との間に双対性を確立する。BPS状態をD4-braneに終わるD2-braneにマッピングすることで、Kontsevich-Soibelmanの壁越え公式の幾何的導出がなされ、位相的弦分割関数の連続性により、U(1)Chern-Simons理論における位相順序付きWilsonループが壁越えの挙動を記述する。

ABSTRACT

By embedding N=2 gauge theories in string theory and utilizing string dualities we map the counting of BPS states with arbitrary electric and magnetic charges to computations of an A-model topological string on an associated geometry constructed from the data of the SW curve. We show how the conjecture of Kontsevich and Soibelman regarding wall crossing, as well as a more refined version which captures the spin content of BPS states, is a natural consequence. Chern-Simons theory realized on A-branes and a twistorial construction play key roles.

研究の動機と目的

• 4次元N=2ゲージ理論におけるKontsevich-Soibelman（KS）壁越え予想の幾何的およびストリング理論的導出を提供すること。
• 任意の電気的および磁気的量子数を持つBPS状態の数え上げを、Seiberg-Witten曲線から構成されたCalabi-Yau三様体上のオープンAモデルトポロジカル弦振幅にマッピングすること。
• モジュライ空間の変形においてトポロジカル弦分割関数が連続であることから、自然にKS壁越え公式が導かれる仕組みを示すこと。
• M5-braneを複数考慮し、Chern-Simons理論におけるU(K)ホロノミーを導入することで、精錬された不変量への拡張を図ること。
• 4次元N=2超共形場理論におけるチャーラル演算子のR荷の文脈において、モノドロミーの物理的解釈を探ること。

提案手法

• 11/9反転を経てM理論に移行することで、型IIAストリング理論における4次元N=2ゲージ理論を幾何的エンジニアリングにより実現し、NS5-braneを円のコンパクト化後にD4-braneにマッピングする。
• BPS状態をCalabi-Yau三様体内のラグランジュ部分多様体を包むD4-braneに終わるD2-braneとして実現し、D4-braneは円上へのSeiberg-Witten曲線のファイブレーションを包む。
• twistorial構成を用いて超対称性を(4,4)から(2,2)に低下させ、2次元トポロジカル場理論の記述を可能にする。
• オープンAモデル振幅を3次元多様体Σ×S¹上のU(1)Chern-Simons理論の相関関数にマッピングし、BPS状態はWilsonループ演算子に対応する。
• 中心的荷の位相でWilsonループを順序付け、Chern-Simons経路積分における時間発展を位相順序に対応させ、分割関数の連続性を保証する。
• トポロジカル弦分割関数がモジュライ変数の変化に対して連続であることを利用し、多粒子状態の置換が壁越えの挙動をもたらすことを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元N=2理論におけるBPSデゲネラシーのKontsevich-Soibelman壁越え公式は、どのようにストリング理論的枠組みから導出可能か？
• RQ2 N=2ゲージ理論における任意の電気的および磁気的量子数を持つBPS状態の正確なトポロジカル弦双対は何か？
• RQ3 BPS状態の位相順序は、量子場理論の経路積分においてどのように現れ、トポロジカル弦振幅の連続性とどのように関係するか？
• RQ4 非ケーラー的または一般化された複素構造を持つ非可換幾何におけるオープンAモデルによって、精錬された壁越え公式（スピン内容を含む）を捉えることは可能か？
• RQ5 Chern-Simons理論におけるモノドロミーの物理的意味は何か？また、4次元N=2超共形場理論におけるR荷とどのように関係するか？

主な発見

• モジュライ空間内の壁を越えるBPSデゲネラシーの跳躍は、twistorial Calabi-Yau三様体上のオープンAモデルトポロジカル弦振幅の連続性から導かれる。
• D4-braneに終わるD2-brane状態の再順序付けが壁越え挙動を自然に生じさせ、中心的荷の位相で順序付けられたU(1)Chern-Simons理論におけるWilsonループにマッピングされる。
• Aモデルの分割関数はモジュライ変形に対して連続のままであるため、多粒子状態の置換が壁越え公式をもたらす結果となる。
• この構成は、標準的なケーラー幾何では完全なラグランジュA-braneを実現できないことを示唆しており、非ケーラー的または一般化された複素構造の必要性を示唆する。
• Chern-Simons理論のモノドロミーは、4次元N=2超共形場理論におけるチャーラル演算子のR荷に関する情報をエンコードしており、2次元の場合と類似した性質を示す。
• K>1のM5-braneを含める拡張により、Chern-Simons理論にU(K)ホロノミーが現れ、精錬された不変量および高スピンBPSデゲネラシーへの自然な道筋が示唆される。