[論文レビュー] 6d $\mathcal{N}=(1,0)$ theories on $T^2$ and class S theories: part I

Kantaro Ohmori, Hiroyuki Shimizu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、6次元 $N=(1,0)$ 最小共形物質理論の compactification —— これは $A_n$, $D_n$, または $E_n$ ALE singularities 上の M5-brane として実現される —— をトーラス $T^2$ 上で行うことで得られる 4次元 $N=2$ SCFT と、2つのフル穴あきと1つの単純穴あきを持つ球面上の型 $G$ のクラス S 理論との間に双対性を確立する。主な結果は、中央電荷、Coulomb 分岐次元、Higgs 分岐幾何、Seiberg-Witten 曲線のすべてにおいて、両理論が正確に一致することであり、複数の整合性チェックを通じて双対性が裏付けられる。

ABSTRACT

We show that the $\mathcal{N}=(1,0)$ superconformal theory on a single M5 brane on the ALE space of type $G=A_n, D_n, E_n$, when compactified on $T^2$, becomes a class S theory of type $G$ on a sphere with two full punctures and a simple puncture. We study this relation from various viewpoints. Along the way, we develop a new method to study the 4d SCFT arising from the $T^2$ compactification of a class of 6d $\mathcal{N}=(1,0)$ theories we call very Higgsable.

研究の動機と目的

• 6次元 $N=(1,0)$ 理論の $T^2$ 上での compactification と、6次元 $N=(2,0)$ 理論の compactification から得られるクラス S 理論の2つの4次元 $ N=2$ SCFT の構成法の重なりを調査すること。
• 特定のクラスの6次元 $N=(1,0)$ 理論を同定し、その $T^2$ 上での compactification が既知のクラス S 理論を生成することを示すこと。
• 6次元最小共形物質理論（型 $G = A_n, D_n, E_n$）の $T^2$ 上での compactification と、2つのフル穴あきと1つの単純穴あきを持つ球面上の型 $G$ のクラス S 理論との間の双対性を確立すること。
• 「非常に Higgs 可能（very Higgsable）」な6次元 $N=(1,0)$ SCFT の4次元異常多項式を計算する一般的手法を開発し、特に最小共形物質に適用可能であることを示すこと。
• Coulomb 分岐次元、Higgs 分岐幾何、Seiberg-Witten 曲線の一致、異常多項式の一致といった複数の独立したチェックを通じて、双対性を検証すること。

提案手法

• Type IIB ストリング理論における双対性チェーンを用いて、ALE singularities 上の M5-brane に由来する6次元 $N=(1,0)$ 理論を、codimension-2 の欠陥を持つ6次元 $N=(2,0)$ 理論に写像し、クラス S の構成と関連付ける。
• $T^2$ compactification 側とクラス S 側の両方から4次元理論のCoulomb分岐次元を計算し、一致を確認する。
• $G^2$ フレーバー対称性を弱くゲージ化したときの4次元理論のHiggs分岐を解析し、6次元の視点から予測されるように、型 $G$ のALE空間として幾何学的に実現されることを示す。
• 特定のモジュライ空間の極限において、4次元一般化双因子理論と6次元最小共形物質のSeiberg-Witten曲線を比較し、『基底-繊維双対性』を通じて正確に一致することを確認する。
• 4次元異常多項式を計算する新規な手法を導入する —— これは、テンソル分岐を完全にHiggs化可能な「非常にHiggs可能」な6次元 $N=(1,0)$ SCFT に適用可能である。この手法は、compactification のF理論的幾何を分析することで得られる。
• 得られた異常多項式の公式を6次元最小共形物質に適用し、対応する4次元クラス S 理論の既知の中央電荷（$a$, $c$）およびフレーバーレベル（$k_G$）と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元 $N=(1,0)$ 最小共形物質理論（型 $G$）の $T^2$ 上での compactification は、2つのフル穴あきと1つの単純穴あきを持つ球面上の4次元 $N=2$ SCFT を生成するか？
• RQ2 $T^2$ 上での compactification から得られる4次元理論の中央電荷（$a$, $c$）およびフレーバーレベル（$k_G$）は、対応するクラス S 理論と一致するか？
• RQ3 $G^2$ フレーバー対称性をゲージ化したときの4次元理論のHiggs分岐は、6次元の構成から予測されるように、型 $G$ のALE空間として幾何学的に実現されるか？
• RQ4 特定のモジュライ空間の極限において、4次元一般化双因子理論と6次元最小共形物質のSeiberg-Witten曲線は一致するか？これは基底-繊維双対性を示唆するか？
• RQ5 「非常にHiggs可能」な6次元 $N=(1,0)$ SCFT の広いクラスに対して、4次元異常多項式を計算する一般的手法を開発できるか？
• RQ6 特に、非常にHiggs可能であるような理論に適用可能か？

主な発見

• 6次元 $N=(1,0)$ 最小共形物質理論（型 $G = A_n, D_n, E_n$）の $T^2$ 上での compactification は、2つのフル穴あきと1つの単純穴あきを持つ球面上の型 $G$ のクラス S 理論と一致する4次元 $N=2$ SCFT を生成する。
• $T^2$ 上での compactification から得られる4次元理論のCoulomb分岐次元は、対応するクラス S 理論と正確に一致する。
• $G^2$ フレーバー対称性を弱くゲージ化したときの4次元理論のHiggs分岐は、6次元の構成から予測されるように、型 $G$ のALE空間として幾何学的に実現され、6次元の起源を確認する。
• 特定のモジュライ空間の極限において、4次元一般化双因子理論と6次元最小共形物質のSeiberg-Witten曲線は一致し、基底-繊維双対性を通じて双対性を支持する。
• 「非常にHiggs可能」な6次元 $N=(1,0)$ SCFT の4次元異常多項式を計算する新規手法は、既知の中央電荷を正確に再現する —— 例えば $G = \text{SU}(N)$ の場合、$a = \frac{11N^2 - 5}{12}$, $c = \frac{N^2 - 1}{2}$, および $k_G = 2N$ となる。
• 異常多項式の計算により、6次元最小共形物質の $T^2$ 上での compactification と、対応する4次元クラス S 理論との一致が確認され、$G = E_6, E_7, E_8$ に対しても、特定の穴あきデータを伴って成立する。