[論文レビュー] On 2d TQFTs whose values are holomorphic symplectic varieties

Gregory W. Moore, Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、境界の貼り合わせがホロモルフィックシンプレクティック商に一致する2次元トポロジカル量子場理論（TQFT）関手 η_{G_ℂ} を、2次元ボーディズムからホロモルフィックシンプレクティック多様体へのものとして提案する。ここで、G_ℂ作用に関してハミルトニアン的である。主な貢献は、6次元 N=(2,0) 理論と、穴あきリーマン面におけるクラスS理論を介して、ホロモルフィックシンプレクティック幾何学へとつながる、物理的に動機づけられた、まだ未解決の構成の予想である。

ABSTRACT

For simple and simply-connected complex algebraic group G, we conjecture the existence of a functor eta_G from the category of 2-bordisms to the category of holomorphic symplectic varieties with Hamiltonian action, such that gluing of boundaries corresponds to the holomorphic symplectic quotient with respect to the diagonal action of G. We describe various properties of eta_G obtained via string-theoretic analysis. Mathematicians are urged to construct eta_G rigorously.

研究の動機と目的

• 2次元ボーディズムから、ハミルトニアン G_ℂ作用をもつホロモルフィックシンプレクティック多様体への2次元TQFT関手 η_{G_ℂ} の存在を予想すること。
• TQFTにおける境界の貼り合わせが、対角的 G_ℂ作用の下でのホロモルフィックシンプレクティック商に一致することを確立すること。
• 穴あきリーマン面上のクラスS理論の最大次元のヒッグス分岐を、TQFTとしての数学的に厳密な形式で提示すること。
• 数学的関係者に、必要なホロモルフィックシンプレクティック多様体を厳密に構成し、因子化性および対称性の性質を検証するよう促すこと。

提案手法

• 6次元 N=(2,0) 理論のストリング理論的解析を、コディメンション2の特異性を持つリーマン面上に compactification して行う。
• 部分的トポロジカルツイストとカルツァ＝クライン還元を用いて、4次元 N=2 理論 S_G(C,D) を構成し、表面 C の共形構造にのみ依存する。
• S_G(C,D) の最大次元ヒッグス分岐を、G_ℂ作用に関して不変なホロモルフィックシンプレクティック多様体として特定する。
• 親の6次元理論から引き継がれる因子化性を用いてTQFTを定式化し、貼り合わせがシンプレクティック商に対応することを示す。
• ハイパーカイラー幾何学を、わずかに異なるが関連するターゲットカテゴリとして用い、商の下での計量のスケーリングを検討する。
• ラグランジュ部分多様体およびドメインウォールを含む拡張TQFT構造の提案、および G の自己同型群の下での等長的拡張の考察。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の貼り合わせが対角的 G_ℂ作用の下でのホロモルフィックシンプレクティック商に一致するような、2次元TQFTが存在するか？
• RQ2 穴あきリーマン面上のクラスS理論の最大次元ヒッグス分岐を、ホロモルフィックシンプレクティック多様体の圏におけるTQFTとして厳密に定式化できるか？
• RQ3 6次元 N=(2,0) 理論の因子化性が、ヒッグス分岐上の2次元TQFT構造へとどのように降下するか？
• RQ4 TQFTをハイパーカイラー幾何学へ拡張する際の面積パラメータ a の正確な役割は何か？また、a→0 の極限で完全な対称性が回復する仕組みは？
• RQ5 TQFTを、ラグランジュ部分多様体およびドメインウォールを含む、0-1-2-3次元の拡張TQFTへと拡張できるか？

主な発見

• 穴あきリーマン面 C 上の理論 S_G(C,D) の最大次元ヒッグス分岐は、親の6次元理論から引き継がれる因子化性を持つホロモルフィックシンプレクティック多様体である。
• 同一の ρ-準同型をもつ穴あき点をもつ2つの表面の境界を貼り合わせることは、対角的 G_ℂ作用の下でのホロモルフィックシンプレクティック商に対応する。
• TQFT関手 η_{G_ℂ} は、2次元ボーディズムからホロモルフィックシンプレクティック多様体への写像であると予想され、合成はシンプレクティック還元によって与えられる。
• A_1 場合では、任意の a に対して η_{A_1}(W,a) はホロモルフィックシンプレクティック多様体として ℂ²⊗ℂ²⊗ℂ² に同型であり、a→0 の極限で平坦なハイパーカイラー計量を持つ。
• T^*G_ℂ^a × T^*G_ℂ^{a'}//G は T^*G_ℂ^{a+a'} に同型であり、計量のスケーリングが商構造に影響することを示している。
• TQFT構造は、クラスS理論におけるラグランジュ部分多様体およびドメインウォールを含む、3カテゴリカルな拡張TQFTへの自然な拡張を示唆している。