[論文レビュー] A^1-homotopy invariance in spectral algebraic geometry

Denis-Charles Cisinski, Adeel A. Khan|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、接続的 E∞-環におけるスペクトラル代数的幾何における A¹-ホモトピー不変性と古典的モチビックホモトピー理論との間の同値性を確立し、Weibel のホモトピー不変 K-理論のスペクトラル類似が古典的理論に崩壊することを示している。非接続的代数的 K-理論の新たな構成を一般化された Bass–Thomason–Trobaugh 方法を用いて行い、接続的 E∞-環 R に対して KH(R) ≅ KH^cl(π₀(R)) を証明している。

ABSTRACT

We study two different flavours of A^1-homotopy theory in the setting of spectral algebraic geometry, and compare them to classical A^1-homotopy theory. As an application we show that the spectral analogue of Weibel's homotopy invariant K-theory collapses to the classical theory. Along the way we give a new construction of nonconnective algebraic K-theory of stable infinity-categories via a generalization of the Bass-Thomason-Trobaugh construction.

研究の動機と目的

• スペクトラル代数的幾何における A¹-ホモトピー理論と古典的モチビックホモトピー理論との間の体系的比較を確立すること。
• 接続的 E∞-環上の滑らかでかつファイバー滑らかな E∞-代数における A¹-ホモトピー不変性の非自明な同値性を解明すること。
• Weibel のホモトピー不変 K-理論 (KH) のスペクトラル版を定義・研究し、古典的理論と比較すること。
• ∞-圏的設定における一般化された Bass–Thomason–Trobaugh 方法を用いて、非接続的代数的 K-理論の新たな構成を提供すること。
• 接続的 E∞-環のスペクトラル KH-理論が、その 0 次ホモトピー環の古典的 KH-理論と同型であることを証明すること。

提案手法

• R に関する滑らかな E∞-代数上の Nisnevich シェーブーの ∞-圏 H(R) と、R に関するファイバー滑らかな E∞-代数上の Nisnevich シェーブーの ∞-圏 H♭(R) を定義し、両者に A¹-ホモトピー不変性を要請する。
• ファイバー滑らかさと古典的滑らかさの比較を通じて H(R) ≃ H^cl(π₀(R)) を証明し、既知の結果を任意の接続的 E∞-環へと拡張する。
• スペクトラル版の Bass 基本序列を構成し、K₁(Gm) におけるボット類を含むコロイミットとしてスペクトラル KH-理論を定義する。
• ボット周期化ファンクターと、スペクトラル設定から古典的設定へのベースチェンジを用いて、スペクトラルと古典的モチビックスペクトラの関係を確立する。
• ∞-圏的降下と局所化技術を適用し、A¹♭-局所化が A¹-局所化を含意することを示し、異なるホモトピー不変性条件の比較を可能にする。
• 制限ファンクターの左随伴がボット周期化を可換にすることを利用し、スペクトラル・古典的比較の間で周期性の性質を移譲可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトラル代数的幾何における A¹-ホモトピー不変性条件は、古典的モチビックホモトピー理論におけるそれとどのように比較可能か？
• RQ2 スペクトラル版の Weibel のホモトピー不変 K-理論 KH(R) は、古典的理論 KH^cl(π₀(R)) とどの程度一致するか？
• RQ3 Bass–Thomason–Trobaugh の構成は、∞-圏的・スペクトラル設定における非接続的代数的 K-理論を定義するために一般化可能か？
• RQ4 A¹-ホモトピー同値性の下で、モチビックスペクトラのボット周期性は古典的設定からスペクトラル設定へと拡張可能か？
• RQ5 接続的 E∞-環上での滑らかな E∞-代数とファイバー滑らかな E∞-代数における A¹-ホモトピー不変シェーブーの ∞-圏の間の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の接続的 E∞-環 R に対して、滑らかな R-代数上の A¹-ホモトピー不変 Nisnevich シェーブーの ∞-圏は、π₀(R) の古典的 A¹-ホモトピー圏と同値である。すなわち H(R) ≃ H^cl(π₀(R)) が成り立つ。
• R が E∞-Z-代数であるとき、3 つの ∞-圏 H(R)、H♭(R)、H^cl(π₀(R)) はすべて同値である。
• 任意の接続的 E∞-環 R に対して、スペクトラルホモトピー不変 K-理論 KH(R) は、古典的ホモトピー不変 K-理論 KH^cl(π₀(R)) と自然に同型である。
• 自由 E∞-代数 R{T} を用いた A¹-ホモトピー不変性による KH(R) の構成は、カテゴリの同値性の下で、R[T] を用いた古典的構成と一致する。
• ボット周期化ファンクターは、スペクトラルから古典的幾何へのベースチェンジファンクターと可換であり、周期性の性質の移譲を可能にする。
• Q(Lw! (K|A)) → KH|B である標準的写像は、ボット周期的モチビックスペクトラとしての同型を示しており、スペクトラル KH-理論が K-理論スペクトラの周期化から生じることを示している。