[論文レビュー] A 2Cat-inspired model structure for double categories

Lyne Moser, Maru Sarazola+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Topic Modeling参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Lackの2カテゴリのモデル構造にインspiredされた、双対カテゴリと双対ファンクターの圏における新しいモデル構造を構築する。水平埋め込み 2Cat → DblCat がホモトピー的全単射であり、左および右のクィルレン関手であることを保証し、2カテゴリおよびビカテゴリのホモトピー理論を回復する。主な結果は、双対ファンクターのホワイトヘッド定理であり、弱同値は水平の擬自然同値に関して逆の擬双対ファンクターを持つものとして特徴づけられる。

ABSTRACT

We construct a model structure on the category $\mathrm{DblCat}$ of double categories and double functors. Unlike previous model structures for double categories, it recovers the homotopy theory of 2-categories through the horizontal embedding $\mathbb{H}\colon2\mathrm{Cat} o\mathrm{DblCat}$, which is both left and right Quillen, and homotopically fully faithful. Furthermore, we show that Lack's model structure on $2\mathrm{Cat}$ is both left- and right-induced along $\mathbb{H}$ from our model structure on $\mathrm{DblCat}$. In addition, we obtain a $2\mathrm{Cat}$-enrichment of our model structure on $\mathrm{DblCat}$, by using a variant of the Gray tensor product. Under certain conditions, we prove a Whitehead theorem, characterizing our weak equivalences as the double functors which admit an inverse pseudo double functor up to horizontal pseudo natural equivalence. This retrieves the Whitehead theorem for 2-categories. Analogous statements hold for the category $\mathrm{wkDblCat}_s$ of weak double categories and strict double functors, whose homotopy theory recovers that of bicategories. Moreover, we show that the full embedding $\mathrm{DblCat} o\mathrm{wkDblCat}_s$ is a Quillen equivalence.

研究の動機と目的

• 双対カテゴリの圏に、水平埋め込みを通じて2カテゴリのホモトピー理論を回復するモデル構造を構築すること。
• 水平埋め込み関手が左および右のクィルレン関手であることを保証し、ホモトピー的構造を保存すること。
• 双対カテゴリに対してホワイトヘッド定理を確立し、弱同値を水平の擬自然同値に関して逆を持つ双対ファンクターとして特徴づけること。
• モデル構造を弱い双対カテゴリへ拡張し、厳密な双対カテゴリへの包含がクィルレン同値であることを示すこと。
• グレイテンソル積の変種を用いて、双対カテゴリのモデル構造に2Cat-豊密化を導入すること。

提案手法

• Lackのモデル構造にインスパイアされ、2Catから導かれる生成 (トレビアス) コイベルゲンスを用いて、DblCatにモデル構造を構築する。
• 水平埋め込み H: 2Cat → DblCat を、両方のクィルレン関手であり、ホモトピー論的適合性を保証する完全全単射関手として定義する。
• グレイテンソル積の変種を用いて、DblCatのモデル構造に2Cat-豊密化を導入する。
• 水平射および正方形を商することで結合子と単位子を恒等射にする厳密化関手 S: wkDblCat_s → DblCat を定義する。
• DblCat と wkDblCat_s の間の随伴 S ⊣ I を確立し、I を包含関手とし、クィルレン同値であることを証明する。
• DblCat および wkDblCat_s がファイブレーション的対象を持つことを利用し、水平および垂直のビカテゴリにおける双同値条件を用いて、導来単位によるクィルレン同値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対カテゴリのモデル構造を、2カテゴリの水平埋め込みが両方向にクィルレン関手となるように構築できるか？
• RQ2 弱同値が水平の擬自然同値に関して逆を持つ双対ファンクターであることを保証する条件は何か？
• RQ3 双対カテゴリのホモトピー理論はビカテゴリのそれとどのように関係するか？ また、厳密な双対カテゴリから弱い双対カテゴリへの包含がクィルレン同値であるか？
• RQ4 双対カテゴリのモデル構造の2Cat-豊密化は、2カテゴリのホモトピー理論をどの程度反映するか？
• RQ5 水平埋め込み関手 H: 2Cat → DblCat はホモトピー的に完全全単射であり、Lackモデル構造の弱同値を保存するか？

主な発見

• 構築された DblCat 上のモデル構造により、水平埋め込み H: 2Cat → DblCat が左および右のクィルレン関手であり、ホモトピー的に完全全単射であることが保証される。
• DblCat 上のモデル構造は2カテゴリのホモトピー理論を回復し、Lackの2カテゴリ上のモデル構造が H 沿いに両方の誘導を受ける。
• ホワイトヘッド定理が確立された：双対ファンクターは、水平の擬自然同値に関して逆の擬双対ファンクターを持つことと、弱同値であることとは同値である。
• 包含関手 I: DblCat → wkDblCat_s はクィルレン同値であり、弱い双対カテゴリのホモトピー理論が厳密な双対カテゴリのそれと回復されることを示す。
• DblCat のモデル構造の2Cat-豊密化は、グレイテンソル積の変種を用いて達成され、2カテゴリ理論と整合する方法でホモトピー的構造を豊密化する。
• 随伴 S ⊣ I の導来単位は双対双同値であり、水平および垂直のビカテゴリへの還元により、2セル上の単位の忠実性が証明される。