[論文レビュー] A bar operator for involutions in a Coxeter group

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、任意のコクセター群における∗--twisted対合で張られる自由加群上で、ヘッケ代数作用とバー作用素の初等的構成を与える。これは以前の幾何的構成を一般化する。主な貢献は、この加群におけるバー作用素と正規基底 $A_w$ の存在および一意性の証明であり、これは対合のカジダン＝ルシュツィッグ多項式を refining し、$P_{y,w}^\sigma$ の非負整数係数多項式への新たな分解をもたらす。

ABSTRACT

In [LV] the authors defined a Hecke algebra action and a bar involution on a vector space spanned by the involutions in a Weyl group. In this paper we give a new definition of the Hecke algebra action and the bar operator which, unlike the one in [LV], is completely elementary (does not use geometry) and in particular it makes sense for an arbitrary Coxeter group.

研究の動機と目的

• 任意のコクセター群における∗-twisted対合で張られる加群上で、ヘッケ代数作用とバー作用素の初等的で幾何的でない構成を提供すること。
• 幾何的手法を用いてWeyl群またはアフィンWeyl群の場合に最初に証明された[LV]の結果を、任意のコクセター群に適用可能な完全に代数的な枠組みへ一般化すること。
• バー作用素と$\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$-基底$\{a'_w\}$を用いて定義される、$M$の$*$-twisted対合の加群に対する正規基底$\{A_w\}$の存在を確立すること。
• この基底の構造定数$P_{y,w}^\sigma$が$\mathbb{Z}[u]$に属する多項式であり、非負整数係数を持つことを証明すること。これは元のカジダン＝ルシュツィッグ多項式を refining する。
• ブラハット順序の$I^*$上のモビウス関数の明示的公式を提示し、それが$\{1, -1\}$の値をとることを示し、$P_{y,w}^\sigma$の定数項が1であることを証明するために用いる。

提案手法

• 生成元$T_w$がブレッド関係および二次関係を満たす$A = \mathbb{Z}[u,u^{-1}]$上のヘッケ代数$H$を定義する。
• ブラハット順序と$*$-対合に依存する明示的公式を用いて、$M = \bigoplus_{w \in I^*} A \cdot a_w$に$H$-加群構造を構成する。
• すべての$h \in H$、$m \in M$に対して$\overline{h m} = \overline{h} \, \overline{m}$を満たし、$\overline{a_1} = a_1$であるような$\mathbb{Z}$-線形写像としてのバー作用素$\overline{\cdot}$を定義する。$\overline{a_w} = \epsilon_w T_{w^{-1}}^{-1} a_{w^{-1}}$と定める。
• 正規化基底$a'_w = v^{-l(w)} a_w$を導入し、$A_w = v^{-l(w)} \sum_{y \leq w} P_{y,w}^\sigma a_y$（$P_{y,w}^\sigma \in \mathbb{Z}[u]$）を定義する。
• バー作用素とブラハット順序の性質を用いた帰納法により、$\{A_w\}$が$M$の$\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$-基底をなすことを証明する。
• 2を法とする還元とモビウス関数の性質を用いて、$P_{y,w}^\sigma \equiv P_{y,w} \mod 2$が成り立ち、$P_{y,w}^\sigma$の定数項が1であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター群における$*$-twisted対合の空間上のヘッケ代数作用とバー作用素は、ヴェルディエ双対性などの幾何的道具を用いずに構成可能か？
• RQ2 $H$-加群$M$の$*$-twisted対合の正規基底$\{A_w\}$は、カジダン＝ルシュツィッグ基底に類似したものとして存在するか？その構造定数は$\mathbb{Z}[u]$に属するか？
• RQ3 この基底の構造定数$P_{y,w}^\sigma$は非負整数係数を持つか？また、元のカジダン＝ルシュツィッグ多項式$P_{y,w}$とはどのように関係するか？
• RQ4 $I^*$上のブラハット順序のモビウス関数は何か？そして、$P_{y,w}^\sigma$の性質を証明するために用いることができるか？
• RQ5 バー作用素を用いて$P_{y,w}^\sigma$の逆行列公式を導出可能か？また、それと反対写像とはどのように関係するか？

主な発見

• ヘッケ代数作用は、ブラハット順序と$*$-対合に依存する4つの明示的公式により、$M$の加群上で一意に定まる。
• バー作用素は、$\overline{h m} = \overline{h} \, \overline{m}$および$\overline{a_1} = a_1$を満たす$\mathbb{Z}$-線形写像として存在し、一意的である。$\overline{a_w} = \epsilon_w T_{w^{-1}}^{-1} a_{w^{-1}}$と定義される。
• $A_w = v^{-l(w)} \sum_{y \leq w} P_{y,w}^\sigma a_y$は、$P_{y,w}^\sigma \in \mathbb{Z}[u]$および$y < w$に対して$\deg P_{y,w}^\sigma \leq (l(w) - l(y) - 1)/2$を満たす$\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$-基底を$M$がなす。
• $I^*$上の順序集合$(I^*, \leq)$のモビウス関数は$\{1, -1\}$の値をとり、$P_{y,w}^\sigma$の定数項が1であることを示すために用いられる。
• 構造定数は$P_{y,w}^\sigma \equiv P_{y,w} \mod 2$を満たし、$P_{y,w}^\sigma$の定数項が1である。これは$P_{y,w}^\sigma = P_{y,w} + 2f(u)$（$f(u) \in \mathbb{Z}[u]$）を意味する。
• $P_{y,w}^\sigma = P_{y,w}^+ + P_{y,w}^-$（$P_{y,w}^+, P_{y,w}^+ \in \mathbb{N}[u]$）という予想は、Weyl群またはアフィンWeyl群の場合に確認されており、一般には未解決のままである。