[論文レビュー] A Batalin-Vilkovisky Algebra structure on the Hochschild Cohomology of Truncated Polynomials

Tian Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ R = \bbZ $、体 $ \bk $、または $ \bbF_p $（$ p \neq 2 $）に対して、切り捨て多項式代数 $ R[x]/(x^{n+1}) $ のホッヒシュトハイントコホモロジーにおけるバタリン＝ヴィルコビッチ（BV）代数構造を計算する。$ HH^*(C^*(\bbC P^n; R); C^*(\bbC P^n; R)) $ のBV構造とループホモロジー $ \bH_*(L\bbC P^n; R) $ のBV構造は、BV代数として同型でないが、それらが誘導するゲルステンハーバー構造は同型であり、すべての状況、特に $ n = kp - 1 $ の $ p $- torsion の場合を含めて、BV作用素 $ \Delta $ とゲルステンハーバー括弧の明示的公式を提供する。これは、$ \bbC P^n $ および $ \bbH P^n $ の有理ループホモロジーBV構造の完全な計算を完成させる。

ABSTRACT

The main result of this paper is to calculate the Batalin-Vilkovisky structure of $HH^*(C^*(\mathbf{K}P^n;R);C^*(\mathbf{K}P^n;R))$ for $ \mathbf{K}=\mathbb{C}$ and $\mathbb{H}$, and $R=\mathbb{Z}$ and any field; and shows that in the special case when $M=\mathbb{C}P^1=S^2$, and $R=\mathbb{Z}$, this structure can not be identified with the BV-structure of $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{Z})$ computed by Luc Memichi in \cite{menichi2}. However, the induced Gerstenhaber structures are still identified in this case. Moreover, according to a recent work of Y.Felix and J.Thomas \cite{felix--thomas}, the main result of the present paper eventually calculates the BV-structure of the rational loop homology, $\mathbb{H}_*(L\mathbb{C}P^n;\mathbb{Q})$ and $\mathbb{H}_*(L\mathbb{H}P^n;\mathbb{Q})$, of projective spaces.

研究の動機と目的

• $ R = \bbZ $、任意の体 $ \bk $、および $ p \neq 2 $ に対して、$ HH^*(C^*(\bbC P^n; R); C^*(\bbC P^n; R)) $ のバタリン＝ヴィルコビッチ（BV）代数構造を計算すること。
• ホッヒシュトハイントコホモロジーのBV構造が、自由ループ空間ホモロジー $ \bH_*(L\bbC P^n; R) $ のBV構造と同型であるかどうかを特定すること、特に $ \bbC P^1 = S^2 $ および $ R = \bbZ $ の場合を含む。
• コーエン＝ジョンズ同型を用いて、ホモロジーBV構造の既知の結果を有理的および整数係数に拡張すること。
• Luc Menichiの予想、すなわち $ \bbC P^{p-1} $ において $ \bbF_p $ 上でBV構造が同型でないことを、$ p $- torsion の場合のホッヒシュトハイントコホモロジーの計算により解明すること。
• $ A = R[x]/(x^{n+1}) $ に対して、$ HH^*(A; A) $ のBV代数構造を完全に分類すること、特に特異な $ p $- torsion の場合 $ n = kp - 1 $ を含む。

提案手法

• 切り捨て多項式代数 $ A = R[x]/(x^{n+1}) $ に対して2周期的分解を用い、コホモロジー複体 $ C^*(A; A) $ と周期的分解 $ P^* $ 間のチェイン写像 $ \varphi^* $ を構成する。
• $ HH^*(A; A) $ の生成子を、$ x $、$ u $、$ t $（$ p $- 特性の場合には $ v $）と特定し、それぞれの次数を $ |x| = -2m $、$ |u| = -1 $、$ |t| = 2mn + 2(m-1) $、$ |v| = 2m - 1 $ とする。
• $ t^k x^l $ および $ t^k u x^l $（$ p $- 特性の場合は $ t^k v x^l $）におけるBV作用素 $ \Delta $ を明示的に計算し、$ \Delta(t^k x^l) = 0 $、$ \Delta(t^k u x^l) = (-(k+1)n - k + l) t^k x^l $ であることを示す。$ n = kp - 1 $ の場合、$ p $- 特性では別の公式が得られる。
• 分解におけるカップ積の明示的計算により、$ u^2 = 0 $ および $ v^2 = 0 $（$ \bbF_2 $ の場合、$ v^2 = \frac{n+1}{2} t x^{n-1} $）を確認する。
• $ M = \bbC P^1 = S^2 $ の場合に適用し、$ HH^*(C^*(S^2; \bbZ); C^*(S^2; \bbZ)) $ がBV代数として $ \bH_*(LS^2; \bbZ) $ に同型でないが、ゲルステンハーバー構造は同型であることを示す。
• FelixとThomasの結果を用いて、計算を有理ループホモロジーに持ち上げ、$ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ および $ \bH_*(L\bbH P^n; \bk) $ が、ホッヒシュトハイントコホモロジーを介して計算されたBV代数構造と同型であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッヒシュトハイントコホモロジー $ HH^*(C^*(\bbC P^n; \bbZ); C^*(\bbC P^n; \bbZ)) $ のバタリン＝ヴィルコビッチ構造は、自由ループ空間ホモロジー $ \bH_*(L\bbC P^n; \bbZ) $ のBV構造と同型であるか？
• RQ2 $ A = \bbF_p[x]/(x^{n+1}) $ に対して、$ HH^*(A; A) $ のBV代数構造は $ n = kp - 1 $ のときどのように異なるのか。また、$ p $- torsion が代数的関係に与える影響は何か？
• RQ3 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ の有理ループホモロジーBV構造を、$ HH^*(C^*(\bbC P^n; \bk); C^*(\bbC P^n; \bk)) $ のBV構造を用いて計算できるか。この計算は既知の結果と一致するか？
• RQ4 $ R = \bbZ $ または $ \bk $ の場合、$ t^k x^l $ および $ t^k u x^l $ におけるBV作用素 $ \Delta $ の明示的公式は何か。特性 $ p $ の場合にどのように変化するか？
• RQ5 $ HH^*(A; A) $ のゲルステンハーバー括弧は、$ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ のストリング括弧と一致するか。また、完全なBV構造が同型でない場合でも、この同型は保たれるか？

主な発見

• $ R = \bbZ $ または特性 0 または $ p \neq 2 $ の体 $ \bk $ に対して $ A = R[x]/(x^{n+1}) $ の場合、ホッヒシュトハイントコホモロジー $ HH^*(A; A) $ は、$ R[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $ としてのBV代数と同型であり、$ |x| = -2m $、$ |u| = -1 $、$ |t| = 2mn + 2(m-1) $、$ \Delta(t^k x^l) = 0 $、$ \Delta(t^k u x^l) = (-(k+1)n - k + l) t^k x^l $ である。
• $ n = kp - 1 $ かつ $ R = \bbF_p $ の場合、BV代数構造は $ \bbF_p[x, v, t]/(x^{kp}, v^2) $ であり、$ |x| = -2m $、$ |v| = 2m - 1 $、$ |t| = 2mn + 2(m-1) $、$ \Delta(t^k x^l) = 0 $、$ \Delta(t^k v x^l) = l t^k x^{l-1} $ である。
• $ R = \bbF_2 $ の場合、$ n $ が偶数のとき、構造は $ \bbF_2[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $ であり、$ \Delta(t^k u x^l) = (-k + l) t^k x^l $ である。$ n $ が奇数のとき、$ \bbF_2[x, v, t]/(x^{n+1}, v^2 - \frac{n+1}{2} t x^{n-1}) $ であり、$ \Delta(t^k v x^l) = l t^k x^{l-1} $ である。
• $ \bbC P^1 = S^2 $ かつ $ R = \bbZ $ の場合、BV代数 $ HH^*(C^*(S^2; \bbZ); C^*(S^2; \bbZ)) $ は $ \bH_*(LS^2; \bbZ) $ とBV代数として同型でないが、誘導されるゲルステンハーバー構造は同型である。
• 主な結果として、任意の体 $ \bk $ に対して $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ および $ \bH_*(L\bbH P^n; \bk) $ のBV構造が、$ \bk[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $ と同型であり、$ |x| = -2 $、$ |u| = -1 $、$ |t| = 2n $、同じ $ \Delta $-公式を持つことが示された。
• 本稿は、Luc Menichiの予想を確認した。すなわち、$ \bH_*(L\bbC P^{p-1}; \bbF_p) $ と $ HH^*(H^*(\bbC P^{p-1}; \bbF_p); H^*(\bbC P^{p-1}; \bbF_p)) $ はBV代数として同型でないが、$ p $- torsion の場合のホッヒシュトハイントコホモロジーの計算により、この予想が裏付けられた。