[論文レビュー] Notes on string topology

Ralph L. Cohen, Alexander A. Voronov|ArXiv.org|Mar 28, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 55被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、多様体のループ空間のホモロジーとBV代数やゲルステンハーバー代数などの代数的構造との深い関係を確立する、ストリングトポロジーの包括的な紹介を提供している。Chas-Sullivanのループ積を通じて、自由ループ空間 $LM$ のホモロジーがバタリン＝ヴィルコフスキー（BV）構造を持つことが示され、さらに球面空間 $X^{S^n}$ のホモロジーが $n$ 重ループ空間のホッフホルダー（Hochschild）ホモロジーと同型であることが示され、トポロジカル場理論、オペラッド（特にカクティ・オペラッド）、代数的トポロジーが統一的な枠組みで結びつけられている。

ABSTRACT

This paper is an exposition of the new subject of String Topology. We present an introduction to this exciting new area, as well as a survey of some of the latest developments, and our views about future directions of research. We begin with reviewing the seminal paper of Chas and Sullivan, which started String Topology by introducing a BV-algebra structure on the homology of a loop space of a manifold, then discuss the homotopy theoretic approach to String Topology, using the Thom-Pontrjagin construction, the cacti operad, and fat graphs. We review quantum field theories and indicate how string topology fits into the general picture. Other topics include an open-closed version of string topology, a Morse theoretic interpretation, relation to Gromov-Witten invariants, and "brane'' topology, which deals with sphere spaces. The paper is a joint account of the lecture series given by each of us at the 2003 Summer School on String Topology and Hochschild Homology in Almeria, Spain.

研究の動機と目的

• 代数的トポロジー、微分トポロジー、および数理物理を結ぶ新しい分野としてストリングトポロジーを導入すること。
• Chas-Sullivanのループ積を用いて、自由ループ空間 $LM$ のホモロジーにBV代数構造を確立すること。
• カクティ・オペラッドを通じて、ストリングトポロジー作用をリーマン面のモジュライ空間の作用として実現し、トポロジカルコンformal場理論と結びつけること。
• 高次元球面への一般化を行い、$X^{S^n}$ のホモロジーと $C_*ig(igwedge^n Xig)$ のホッフホルダー（Hochschild）ホモロジーとの関係を明らかにすること。
• コタンジェントバンドルにおけるモース的視点から、ストリングトポロジーとグロモフ＝ウィッテン理論の関係を探索すること。

提案手法

• ループ空間における交線理論から生じるChas-Sullivanのループ積を用いて、$H_*(LM)$ にBV代数構造を定義する。
• カクティ・オペラッドを用いて、リーマン面のモジュライ空間がループ空間に作用する方法をモデル化し、ストリングトポロジー作用の幾何的実現を提供する。
• LM 上のエネルギー汎関数に対するモース的視点を採用し、勾配勾配線がストリングトポロジー作用とどのように関係するかを考察する。
• 半自由球面空間 $X^{S^n}_0$ と全球面空間 $X^{S^n}$ の間のホモトピー同値を構成し、標準的なホモトピー論的道具の使用を可能にする。
• 特異コホモロジーとホッフホルダー（Hochschild）ホモロジーを用いて、$X^{S^n}$ のホモロジーと $C_*far{rak{D}}^n$-代数 $C_*ig(igwedge^n Xig)$ のホッフホルダー（Hochschild）ホモロジーとの関係を確立する。
• オペラッドとPROPsを用いて、ストリングトポロジーの背後にある代数的構造を形式化し、$n$-代数およびそのコホモロジー的性質を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chas-Sullivanのループ積は、自由ループ空間のホモロジーにどのようにバタリン＝ヴィルコフスキー（BV）構造として解釈できるか？
• RQ2 カクティ・オペラッドは、ストリングトポロジー作用をループ空間への作用として実現する際に果たす役割は何か？
• RQ3 LM 上のエネルギー汎関数に対するモース的アプローチは、$T^*M$ のグロモフ＝ウィッテン不変量とどのように関係するか？
• RQ4 $X^{S^n}$ のホモロジーと $n$ 重ループ空間のホッフホルダー（Hochschild）ホモロジーとの正確な関係は何か？
• RQ5 コンツェビッチのホッフホルダー（Hochschild）コホモロジー予想は、ストリングトポロジー構成を通じて位相的に実現可能か？

主な発見

• 閉じた向き付け可能な多様体の自由ループ空間 $LM$ のホモロジーは、Chas-Sullivanのループ積を通じて自然なバタリン＝ヴィルコフスキー（BV）代数構造を持つ。
• カクティ・オペラッドはループ空間 $LM$ に作用し、ストリングトポロジーの代数的作用を幾何的にモデル化し、リーマン面のモジュライ空間を通じてBV構造を実現する。
• パス連結なCW複体に対して、包含写像 $X^{S^n}_0 o X^{S^n}$ はホモトピー同値であるため、ホモトピー的計算において半自由球面空間を全球面空間に置き換えられる。
• ホッフホルダー（Hochschild）チェイン複体 $C_*^{(n)}(C_*ig(igwedge^n Xig), C_*ig(igwedge^n Xig))$ は、特異コホモロジー複体 $C_*ig(X^{S^n}_0ig)$ とホモトピー同値である。
• ホッフホルダー（Hochschild）ホモロジー $H_*^{(n)}(C_*ig(igwedge^n Xig), C_*ig(igwedge^n Xig))$ は、ホモロジー $H_*(X^{S^n}_0; bZ)$ と同型であり、このような空間では $H_*(X^{S^n}; bZ)$ とも同型である。
• 本論文は、コンツェビッチのホッフホルダー（Hochschild）コホモロジー予想の位相的実現を提供しており、$n$-代数のホッフホルダー（Hochschild）$n$-ホモロジーが自然に $(n+1)$-代数であるという予想が、$H_*(X^{S^n})$ と $igwedge^n X$ のホッフホルダー（Hochschild）ホモロジーの同型を通じて裏付けられている。