[論文レビュー] A bijection to count (1-23-4)-avoiding permutations

David Callan|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、中央の2つの要素が隣接する4つの増加要素を避ける（1-23-4）回避順列の数を数える2変数再帰を提示する—これは、増加順序付き木とその葉が増加する性質を持つ双対写像を確立することで達成される。主な貢献は、従来の4変数版と比較して著しく単純化された再帰である。これにより、効率的な列挙が可能となり、Dyckパスや2配置との関係が明らかになる。

ABSTRACT

A permutation is (1-23-4)-avoiding if it contains no four entries, increasing left to right, with the middle two adjacent in the permutation. Here we give a 2-variable recurrence for the number of such permutations, improving on the previously known 4-variable recurrence. At the heart of the proof is a bijection from (1-23-4)-avoiding permutations to increasing ordered trees whose leaves, taken in preorder, are also increasing.

研究の動機と目的

• 従来4変数を必要としていた（1-23-4）回避順列の数の再帰を単純化すること。
• （1-23-4）回避順列と根の出次数がkであるn辺の増加順序付き木（葉が増加する）との双対写像を確立すること。
• これらの順列を列挙するより効率的で構造的に洞察に富んだ方法を提供すること。
• 統一されたコーディング枠組みを通じて、順列パターン、木構造、Dyckパスの間の関係を明らかにすること。

提案手法

• 長さnで根の出次数がkである（1-23-4）回避順列の数u(n,k)を表す2変数再帰を導入する。
• （1-23-4）回避順列と根の出次数がkであるn辺の増加順序付き木（葉が増加する）との間の双対写像を構築する。
• 頂点1が葉であるか、根と統合されるかの2通りの木の剪定と再根元操作を用いて再帰を導出する。
• 両方の構造（順列と木）を、a_iが次数を数え、h_iが兄弟の位置を符号化するような列 (a_i, h_i) で符号化し、一意な再構成を可能にする。
• 再帰と谷マーク付きDyckパスの列挙が等価であることを示し、第二の組合せ的モデルを提供する。
• 母関数と偏微分方程式（PDE）を用いて、LRMinセグメントやフリーの上昇といった統計量をモデル化し、閉形式の母関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の4変数再帰と比較して、（1-23-4）回避順列の数の再帰をより単純にできるか？
• RQ2 （1-23-4）回避順列を双対的にモデル化する自然な組合せ的構造（例えば木やパス）が存在するか？
• RQ3 （1-23-4）回避順列、増加順序付き木（葉が増加する）および谷マーク付きDyckパスの間の構造的関係は何か？
• RQ4 LRMinセグメントやフリーの上昇といった順列パターンの統計量は、閉形式解を持つ母関数で表現可能か？
• RQ5 他のビンクラルまたはバイビンクラル順列パターンに対しても同様の高速再帰が存在するか？

主な発見

• 本稿では、長さnで根の出次数がkである（1-23-4）回避順列の数u(n,k)を表す2変数再帰を確立した。これは従来の4変数再帰と比較して著しく単純化されている。
• 根の出次数kがu(n,k)に対応する（1-23-4）回避順列と増加順序付き木（葉が増加する）との双対写像が構築された。
• 再帰が、根の出次数がkであるn半長の谷マーク付きDyckパスの数を数えることと等価であることを示し、再帰の妥当性が裏付けられた。
• a_iが次数を表し、h_iが剪定された部分木における兄弟の位置を符号化するような列 (a_i, h_i) を用いた符号化システムが導入され、木とパスの両方を一意に符号化した。
• 一階線形PDEを解くことで、閉形式で得られる母関数F(x,y,z,w)が導出され、短いセグメント、長いセグメント、フリーの上昇をパラメータにした順列の列挙が可能になった。
• y=z=1のとき、母関数は(1−w)/(1−we^{x(1−w)})^{1/w}に簡略化され、フリーの上昇を数える母関数の閉形式表現が得られた。