[論文レビュー] A brief review of supersymmetric non-linear sigma models and generalized complex geometry

Ulf Lindström|ArXiv.org|Mar 30, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、追加のスピンルアル超場を伴う超対称非線形シグマ模型から一般化されたカーラー幾何（GKG）が導かれる過程をレビューし、GKGがラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化の両方において自然に生じることを示している。主な貢献は、キラル、ねじれキラル、および半カーラー超場を用いたGKGの座標化であり、メトリックとB場がシンプレクトモーフィズムを通じて生成される潜在関数Kを備えている。

ABSTRACT

This is a review of the relation between supersymmetric non-linear sigma models and target space geometry. In particular, we report on the derivation of generalized Kähler geometry from sigma models with additional spinorial superfields. Some of the results reviewed are: Generalized complex geometry from sigma models in the Lagrangian formulation; Coordinatization of generalized Kähler geometry in terms of chiral, twisted chiral and semi-chiral superfields; Generalized Kähler geometry from sigma models in the Hamiltonian formulation.

研究の動機と目的

• 超対称非線形シグマ模型と一般化されたカーラー幾何（GKG）との間の対応関係を、終状態空間幾何として確立すること。
• 第二の超対称性のオフシェル閉じ性を解決するため、余接 bundle $T^*$ に変換する補助超場を導入すること。
• N=(2,2) 明示的超対称モデルにおけるキラル、ねじれキラル、および半カーラー超場を用いたGKGの統一的記述を提供すること。
• GKGが、メトリックと$B$-場をシンプレクトモーフィズムを通じて生成する潜在関数$K$を備えていることを示し、既知のバイ・エルミート構造を拡張すること。
• シグマ模型のハミルトニアン定式化が、ラグランジュ的アプローチの制限を克服して、終状態空間幾何としてGKGを導くこと。

提案手法

• 超対称性の第二の閉じ性をオフシェルで達成できるように、$T \oplus T^*$ に変換する超場を導入することで、$N=(1,1)$ シグマ模型から一般化された複素幾何を導出する。
• ラグランジュ的定式化を用い、$E_{\mu\nu} = G_{\mu\nu} + B_{\mu\nu}$ を用いて終状態空間幾何を記述し、キラルおよびねじれキラル超場を介して$N=(2,2)$ に還元する。
• ラグランジュ的定式化における補助場の結合の不一意性を回避するため、ハミルトニアン定式化を適用し、一意に決定された終状態空間幾何を導く。
• バイ・エルミート制約を再定式化するために、第三のポアソン構造$\sigma = [J_+, J_-]G^{-1}$ を導入し、GKGの幾何的特徴付けを可能にする。
• キラル$\phi$、ねじれキラル$\chi$、および半カーラー超場$\mathbb{X}_L, \mathbb{X}_R$ を用いた$N=(2,2)$ 超場形式を用い、GKG構造の完全なパrametrizationを実現する。
• Kähler潜在関数$K(\phi, \bar{\phi}, \chi, \bar{\chi}, \mathbb{X}_L, \mathbb{X}_R)$ が非線形シンプレクトモーフィズムを通じてメトリックと$B$-場を生成することを示し、GKGの統一的潜在関数記述を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補助超場が$T \oplus T^*$ に変換する$N=(1,1)$ 非線形シグマ模型から、一般化されたカーラー幾何をどのように導出できるか？
• RQ2 キラル、ねじれキラル、および半カーラー超場は、一般化されたカーラー幾何の座標化において果たす役割は何か？
• RQ3 単一の潜在関数$K$ が一般化されたカーラー幾何における完全なメトリックと$B$-場を生成可能か？その幾何的解釈は何か？
• RQ4 シグマ模型のハミルトニアン定式化は、ラグランジュ的アプローチの制限をどのように克服し、終状態空間幾何を決定するか？
• RQ5 ゲーツ、ハル、ローチェクのバイ・エルミート幾何と一般化されたカーラー幾何との正確な対応関係は何か？

主な発見

• 第二の超対称性が$T \oplus T^*$ に変換する補助超場を介してオフシェルで閉じるとき、$N=(2,2)$ 非線形シグマ模型の終状態空間幾何として一般化されたカーラー幾何（GKG）が生じる。
• 完全な一般化されたカーラー幾何は、キラル、ねじれキラル、および半カーラー超場によって座標化され、半カーラー場が$[J_+, J_-]$ の核の補完を完成させている。
• $N=(2,2)$ の作用におけるKähler潜在関数$K$ が非線形シンプレクトモーフィズムを通じてメトリックと$B$-場を生成し、GKGの統一的潜在関数記述を提供する。
• 第三のポアソン構造$\sigma = [J_+, J_-]G^{-1}$ の導入により、バイ・エルミート制約が再定式化され、それらが一般化された複素幾何に直接結びつくことが可能になる。
• シグマ模型のハミルトニアン定式化は、終状態空間幾何を一般化されたカーラー幾何として一意に決定し、ラグランジュ的アプローチにおける曖昧性を解消する。
• ハミルトニアン定式化から直接導かれる[11]のバイ・エルミート幾何と一般化されたカーラー幾何の対応関係は、幾何的同値性を確認する。