[論文レビュー] A Brunn-Minkowski type inequality for Fano manifolds and some uniqueness theorems in Kähler geometry

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Fano多様体に対して、正曲率接続を持つアンチCanonicalバンドル上の体積関数の対数が、特異的でない場合、その接続空間内における測地線に沿って厳密に凹であることを示す、厳密なBrunn-Minkowski型不等式を確立する。この結果により、Kähler-Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理の簡略化された証明が得られ、歪み付きKähler-Einstein計量およびKähler-Ricciソリトンへと拡張可能であり、Kähler幾何における一意性と剛性に関する応用が得られる。

ABSTRACT

For $ϕ$ a metric on the anticanonical bundle, $-K_X$, of a Fano manifold $X$ we consider the volume of $X$ $$ \int_X e^{-ϕ}. $$ We prove that the logarithm of the volume is concave along bounded geodesics in the space of positively curved metrics on $-K_X$ and that the concavity is strict unless the geodesic comes from the flow of a holomorphic vector field on $X$. As a consequence we get a simplified proof of the Bando-Mabuchi uniqueness theorem for Kähler - Einstein metrics. A generalization of this theorem to 'twisted' Kähler-Einstein metrics and some classes of manifolds that satisfy weaker hypotheses than being Fano is also given. We moreover discuss a generalization of the main result to other bundles than $-K_X$, and finally use the same method to give a new proof of the theorem of Tian and Zhu of uniqueness of Kähler-Ricci solitons. This is an expanded version of an earlier preprint, "A Brunn-Minkowski type inequality for Fano manifolds and the Bando-Mabuchi uniqueness theorem", arXiv:1103.0923

研究の動機と目的

• アンチCanonicalバンドル上の正曲率接続空間内における測地線に沿った体積関数の対数の凹性を分析することにより、Fano多様体に対する厳密なBrunn-Minkowski型不等式を確立すること。
• 測地線が正則ベクトル場によって生成されていない限り、厳密な凹性が成り立つことを示すことにより、Kähler-Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理の簡略化された証明を提供すること。
• Fano条件を満たさない弱い条件下の多様体や歪み付きKähler-Einstein計量に対しても、一意性結果を一般化し、この手法の適用範囲を拡大すること。
• 主な不等式をアンチCanonicalバンドルを超える他の線束へと拡張し、幾何学的・解析的技法の適用範囲を広げること。
• 同様の手法を用いて、Kähler-Ricciソリトンの一意性定理（Tian-Zhu）の新たな証明を示し、コンpakトな自己同型群の仮定の下で一意性を確立すること。

提案手法

• アンチCanonicalバンドル上の接続 $ \phi_t $ に対して、体積関数 $ \mathcal{F}(t) = -\log \int_X e^{-\phi_t} $ を用い、測地線変動の下でのそのサブハーモニック性および凸性を証明する。
• 完全な滑らかさがなくても、有界な混合微分を持つ一般化された測地線の存在を保証するChenの定理を適用する。
• 曲率推定と $ \partial \phi / \partial t $ の $ L^2 $ ノルムに関する部分積分を用いて、測地線が正則ベクトル場から生じない限り、対数体積関数が厳密に凹であることを確立する。
• Hörmanderの $ L^2 $ 法と $ c(\phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial t \partial \bar{t}} - |\bar{\partial} \frac{\partial \phi}{\partial t}|^2_{i\partial\bar{\partial}_X \phi} $ を含む曲率公式を用い、測地線を $ c(\phi) = 0 $ の解として特徴付ける。
• 正則ベクトル場 $ V $ に対して、関数 $ f(V) = \int_X e^{h^\phi_V} (i\partial\bar{\partial}\phi)^n $ を用い、$ K $-不変性の下でその厳密な凸性を示し、臨界点の一意性を導く。
• 部分積分と正則ベクトル場との縮約の性質を用いて、曲率恒等式を導出し、対称性仮定の下で微分の消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンチCanonicalバンドル上の正曲率接続空間内における測地線に沿って、体積関数の対数がいつ厳密に凹になるか。
• RQ2 Brunn-Minkowski型不等式の等号成立条件は何か。また、それは基礎となる幾何に何を意味するか。
• RQ3 厳密な凹性の結果を用いて、Kähler-Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理を簡略化または再証明できるか。
• RQ4 Kähler-Einstein計量の一意性結果は、どの程度まで歪み付きKähler-Einstein計量や非Fano多様体に一般化できるか。
• RQ5 同様の手法を用いてKähler-Ricciソリトンの一意性を証明できるか。自己同型群はこの問題においてどのような役割を果たすか。

主な発見

• 体積関数 $ \mathcal{F}(t) = -\log \int_X e^{-\phi_t} $ の対数は、$ -K_X $ 上の正曲率接続空間内における測地線に沿って、正則ベクトル場から生じない限り、厳密に凹である。
• 凹性不等式の等号成立条件は、測地線が正則ベクトル場によって生成されている場合に限り成立し、測地線の正則性が低い場合でも成り立つ。
• 厳密な凹性結果の直接的帰結として、Kähler-Einstein計量のBando-Mabuchi一意性定理の簡略化された証明が得られる。
• 一意性結果は、歪み付きKähler-Einstein計量およびFano条件を満たさない多様体へと拡張可能であり、アンチCanonicalバンドルが半正曲率を持つ限り成立する。
• この手法は $ -K_X $ を超える他の線束へと一般化され、適切な曲率条件の下で同様の凹性原理が成り立つことが示された。
• 関数 $ f(V) = \int_X e^{h^\phi_V} (i\partial\bar{\partial}\phi)^n $ が $ K $-不変性の下で厳密に凸であることを示すことにより、Kähler-RicciソリトンのTian-Zhu一意性定理の新たな証明が得られ、臨界点が高々一つであることが示された。