[論文レビュー] A categorical action on quantized quiver varieties

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、クーリー代数のシンプレクティック構造の変形量子化を用いて、ナカジマのクーリー多様体上の量子化されたコherent層の2カテゴリカルに、任意の対称カク・ムーディ代数の圏的作用を確立する。この作用は、ヘッケ対応を介したナカジマの普遍包あ仮想代数の幾何的構成をカテゴライズ化し、その主要結果は、得られる双加群の特徴的サイクルが元の幾何的表現論を回復することである。

ABSTRACT

In this paper, we describe a categorical action of any Kac-Moody algebra on a category of quantized coherent sheaves on Nakajima quiver varieties. By "quantized coherent sheaves," we mean a category of sheaves of modules over a deformation quantization of the natural symplectic structure on quiver varieties. This action is a direct categorification of the geometric construction of universal enveloping algebras by Nakajima.

研究の動機と目的

• ナカジマのクーリー多様体上の量子化されたコherent層の2カテゴリカルに、任意の対称カク・ムーディ代数の圏的作用を構成すること。
• クーリー多様体上のシンプレクティック構造の変形量子化を用いて、ナカジマのU(g)の幾何的構成をカテゴライズ化すること。
• 得られる双加群の特徴的サイクルが、元の幾何的表現論的構成 ˙U を回復することを示すこと。
• 作用が図式的に任意ではなく、幾何的データ（特にヘッケ対応）から自然に生じることを示すこと。
• リーマン＝ヒルベルト対応を通じて、変形量子化と可解層の関係を明確にし、トポロジカルな手法において量子化された設定を優先すること。

提案手法

• ハリシュ＝チャンドラ条件を満たす、クーリー多様体の変形量子化上の双加群のカテゴリとして2カテゴリ Qλ を定義する。
• カク・ムーディ代数のチェバレー生成子に関連する、M×M のモジュライ的部分多様体であるヘッケ対応を用いる。
• 周期に整数条件を満たす変形量子化を用いてヘッケ対応を量子化する。
• 適切かつ滑らかな写像に伴う射影空間のファイバーを持つことで、量子化された構造層上の畳み込み関手として Ei と Fi を構成する。
• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて可解層とD加群を関係づけ、カシワラの定理を用いて正規D加群の押し出しを分析する。
• ファイバーと特異点の幾何的解析を通じて、圏的セール関係を証明する。押し出しにより、対角D加群のシフトの直和が得られ、係数は量子整数の分解に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナカジマのクーリー多様体上の量子化されたコherent層のカテゴリに、対称カク・ムーディ代数の圏的作用を構成できるか？
• RQ2 得られる作用が、特徴的サイクルを通じてナカジマのU(g)の幾何的構成をカテゴライズ化するか？
• RQ3 圏的作用における関係が、特にヘッケ対応を通じてクーリー多様体の幾何に自然に埋め込まれているか？
• RQ4 特定の周期を持つ変形量子化がカテゴライズ化プロセスにどのように作用するか、また必要な整数条件は何か？
• RQ5 この量子化された層への作用と、従来の可解層やD加群への作用との関係は何か？

主な発見

• 任意の対称カク・ムーディ代数の圏的作用を実現する、2カテゴリ U からクーリー多様体上の量子化されたコherent層の2カテゴリ Qλ への2ファンクターが構成された。
• 関手 Ei と Fi は、圏的セール関係を満たす：⟨αi,ξ⟩≤0 のとき Fi⋆Ei ≅ Ei⋆Fi ⊕ (q⟨αi,ξ⟩+di + ⋯ + q−⟨αi,ξ⟩−di)·Aξ であり、⟨αi,ξ⟩≥0 のときは双対関係が成り立つ。
• セール関係の同型は、小解像の押し出しの幾何的解析を通じて証明され、ファイバー次元が量子整数係数を決定する。
• 写像 f2（および e1）に沿った正規D加群の押し出しは、既約D加群 Q と D∆ のシフトの和に分解され、後者は係数 (q⟨αi,ξ⟩+vi−1 + ⋯ + q−⟨αi,ξ⟩+1)·D∆ を持つ。
• この結果は、量子化の周期が整数条件を満たす場合にのみ成り立つ。これは、量子化されたヘッケ対応の存在に不可欠である。
• 命題3.2および [BPW, 5.2] により、クーリーの向きの変更に対して、量子化されたラインバンドル双加群とのテンソル積による作用の整合性が保証されている。