[論文レビュー] A categorification of U_q sl(1,1) as an algebra

Tian Yin|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、微分的可換代数 $R_n$ 及びその導来圏を用いて、量子群 $\mathfrak{sl}(1|1))$ の整数形式のカテゴリフィケーションを構成する。三角的圏 $\mathcal{U}_n$ 及び $\mathcal{U}_{n,n}$ を定義し、それらのグロテンディーク群がそれぞれ $\mathbf{U}_n$ 及び $\mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n$ に同型であることを示し、$K_0$ 上に誘導される写像が $\mathbf{U}_n$ の乗法を回復する完全関手 $\mathcal{F}_n$ を構成する。これにより、代数構造がカテゴリフィケーションされる。

ABSTRACT

We construct families of differential graded algebras R and R \boxtimes R and give an algebraic formulation of the contact category of a disk through the differential graded category DGP(R) generated by some distinguished projective differential graded R-modules. The homology category H^0(DGP(R)) is a triangulated category and its Grothendieck group is a Clifford algebra. We then categorify the Clifford algebra to a functor from DGP(R \boxtimes R) to DGP(R). We construct a subcategory of the homology category which categorifies an integral version of U_q sl(1,1) as an algebra.

研究の動機と目的

• 整数形式 $\mathbf{U}_n$ の代数構造 $\mathbf{U}_q(\mathfrak{sl}(1|1))$ のカテゴリフィケーションを提供すること。
• グロテンディーク群がそれぞれ $\mathbf{U}_n$ 及び $\mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n$ に同型となるような三角的圏 $\mathcal{U}_n$ 及び $\mathcal{U}_{n,n}$ を構成すること。
• 関手 $\mathcal{F}_n: \mathcal{U}_{n,n} \to \mathcal{U}_n$ を定義し、$K_0$ 上に誘導される写像が乗法写像 $\operatorname{m}_n: \mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n \to \mathbf{U}_n$ と一致することを示すこと。

提案手法

• 図式的かつ代数的枠組みを用いて、$n > 0$ に対して微分的可換代数 $R_n$ 及び $R_n \boxtimes R_n$ を構成する。
• 有限回の写像のマッピングコーンの反復からなる、$R_n$-加群の区別された射影的加群間の写像のカテゴリ $DGP(R_n)$ を微分的可換カテゴリとして定義する。
• $H^0(DGP(R_n))$ を $0$-次ホモロジーカテゴリとして特定し、それがグロテンディーク群がクラッフォード代数に同型である三角的カテゴリであることを示す。
• $H^0(DGP(R_n))$ 内の対象をテンソル積とシフトを用いて結合する双関手 $\chi_n$ を導入し、これと写像 $\mathcal{M}_n$ を合成して乗法関手 $\rho_n$ を定義する。
• $\mathbf{U}_n$ の生成子 $1, q, q^{-1}, E, F$ を、偶数または奇数添え字の射影的加群 $P([i])$ の直和を用いて $H^0(DGP(R_n))$ 内の対象に持ち上げる。
• $\mathcal{U}_n$ を $H^0(DGP(R_n))$ の最小の完全な三角的部分カテゴリとして、持ち上げられた乗法 $\rho_n$ に関して閉じたものとして構成し、同様に $\mathcal{U}_{n,n}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数形式 $\mathbf{U}_n$ の代数構造 $\mathbf{U}_q(\mathfrak{sl}(1|1))$ は、三角的圏および関手を用いてカテゴリフィケーション可能か？
• RQ2 そのグロテンディーク群の写像が $\mathbf{U}_n$ の乗法を回復するような、カテゴリ間の関手が存在するか？
• RQ3 $\mathbf{U}_n$ の生成子 $E, F, q, q^{-1}$ を三角的カテゴリ内の対象に持ち上げることで、代数的関係をカテゴリカルに実現する方法は何か？
• RQ4 微分的可換代数 $R_n$ 及び $R_n \boxtimes R_n$ は、$\mathbf{U}_n$ のカテゴリフィケーションの実現に果たす役割は何か？
• RQ5 ディスクの接触カテゴリは、$R_n$-加群の導来カテゴリを通じて代数的に実現可能か？

主な発見

• $K_0(H^0(DGP(R_n)))$ はクラッフォード代数に同型であり、これにより基礎となる代数的構造のカテゴリカル実現が得られる。
• 三角的カテゴリ $\mathcal{U}_n$ は、$H^0(DGP(R_n))$ の最小の完全な三角的部分カテゴリとして、持ち上げられた乗法 $\rho_n$ に関して閉じたものとして構成され、$K_0(\mathcal{U}_n) \cong \mathbf{U}_n$ を満たす。
• $\mathcal{U}_{n,n}$ は、$H^0(DGP(R_n \boxtimes R_n))$ の最小の三角的完全部分カテゴリとして、任意の $\mathcal{X}, \mathcal{Y} \in \mathcal{U}_n$ に対して $\chi_n(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ の像を含むものとして定義され、$K_0(\mathcal{U}_{n,n}) \cong \mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n$ を満たす。
• 完全関手 $\mathcal{F}_n: \mathcal{U}_{n,n} \to \mathcal{U}_n$ は、$K_0$ 上に誘導される写像が乗法写像 $\operatorname{m}_n: \mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n \to \mathbf{U}_n$ と一致する。これにより、代数的乗法がカテゴリフィケーションされる。
• $\mathbf{U}_n$ 内の関係 $E^2 = 0$ の持ち上げは、$\mathcal{U}_n$ 内で同型をもたらさない。なぜなら $\mathcal{E}\mathcal{E}$ は非自明なコチェーン複体であり、微分がゼロであるためである。これにより、関係が同型として厳密に保存されないことが示される。
• $\mathbf{U}_n \to K_0(R_n)$ の包含写像 $\imath_n$ は、$H^0(DGP(R_n))$ のグロテンディーク群を通じて実現され、$\mathbf{U}_n$ が $K_0(R_n)$ の部分代数として埋め込まれる。