[論文レビュー] A causal perspective on random geometry

Stefan Zohren|arXiv (Cornell University)|May 2, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 174被引用数 10

ひとこと要約

本学位論文は、因果セットと因果的動的単体分割（CDT）を用いた量子重力の因果的アプローチを提示し、因果性がホログラフィックなエントロピー上限を強制し、量子重力経路積分における病理的挙動を規制することを示している。2次元CDTに関しては、移動行列と行列モデルを用いて正確な解が得られ、't Hooftの非臨界弦理論の元来のビジョンと整合する、新しい大Nおよび連続極限の分離が明らかになった。

ABSTRACT

In this thesis we investigate the importance of causality in non-perturbative approaches to quantum gravity. Firstly, causal sets are introduced as a simple kinematical model for causal geometry. It is shown how causal sets could account for the microscopic origin of the Bekenstein entropy bound. Holography and finite entropy emerge naturally from the interplay between causality and discreteness. Going beyond causal set kinematics is problematic however. It is a hard problem to find the right amplitude to attach to each causal set that one needs to define the non-perturbative quantum dynamics of gravity. One approach which is ideally suited to define the non-perturbative gravitational path integral is dynamical triangulation. Without causality this method leads to unappealing features of the quantum geometry though. It is shown how causality is instrumental in regulating this pathological behavior. In two dimensions this approach of causal dynamical triangulations has been analytically solved by transfer matrix methods. In this thesis considerable progress has been made in the development of more powerful techniques for this approach. The formulation through matrix models and a string field theory allow us to study interesting generalizations. Particularly, it has become possible to define the topological expansion. A surprising twist of the new matrix model is that it partially disentangles the large-N and continuum limit. This makes our causal model much closer in spirit to the original idea by 't Hooft than the conventional matrix models of non-critical string theory.

研究の動機と目的

• 非摂動的量子重力の手法における因果性の役割を調査すること。
• 因果セットが離散性と因果性の相互作用によって自然にホログラフィーと有限エントロピーを生じることを示すこと。
• 2次元における因果性の導入によって、動的単体分割の経路積分における不安定性を解消すること。
• 2次元因果的量子重力のための解析的手法（特に行列モデルと移動行列）を開発すること。
• 't Hooftの非臨界弦理論の元来のビジョンとの関係を、大Nおよび連続極限の分離を通じて探ること。

提案手法

• 離散的かつ因果的な幾何的モデルとして因果セットを導入し、エントロピー上限の微視的起源を研究する。
• 2次元因果的動的単体分割を正確に解くために移動行列技術を適用し、連続極限を導出する。
• 行列モデルを用いて2次元CDTの分配関数を表現し、トポロジー展開と大N解析を可能にする。
• 重合超幾何関数と変形ベッセル関数を用いて、有限時間の伝播関数（ループ-ループ相関関数）を導出する。
• CDTモデルのハミルトニアンとカラジェロハミルトニアンとの間の写像を確立し、スペクトル問題を解く。
• 行列モデルが大Nと連続極限を部分的に分離することを示し、標準的な非臨界弦モデルとは顕著に異なる特徴であることを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的時空における因果性は、ベケンシュタインのエントロピー上限とホログラフィーをどのように導くのか？
• RQ2 因果性は、非因果的動的単体分割で観察される病理的挙動を解消できるか？
• RQ3 2次元因果的動的単体分割モデルの正確な解は何か？ そして、ユークリッド版と比較するとどうなるか？
• RQ4 2次元CDTの行列モデル形式化は、大Nおよび連続極限における新しい構造をどのように明らかにするか？
• RQ5 因果的モデルは、't Hooftの非臨界弦理論の元来のビジョンとどの程度整合するか？

主な発見

• 因果セットは、因果性と離散性の相互作用を通じて自然にホログラフィーと有限エントロピーを生成し、ベケンシュタインのエントロピー上限を支持する。
• 2次元では、移動行列法を用いた因果的動的単体分割モデルが正確に解け、連続極限が離散モデルから回復可能である。
• 2次元CDTの有限時間伝播関数は、閉形式で $ G_{\text{Λ}}(L_1,L_2;T) = \sqrt{\frac{\Lambda}{c_1}}(L_1L_2)^{-\mu/2}\frac{e^{-\sqrt{\frac{\Lambda}{c_1}}(L_1+L_2)\coth(\sqrt{c_1\Lambda}T)}}{\sinh(\sqrt{c_1\Lambda}T)}I_{\mu}\left(\frac{2}{\sqrt{c_1}}\frac{\sqrt{\Lambda L_1L_2}}{\sinh(\sqrt{c_1\Lambda}T)}\right) $ として導出され、$ \mu = c_2/c_1 - 1 $ の条件下で有効である。
• 行列モデル形式化によりトポロジー展開が可能となり、大Nと連続極限の部分的分離が明らかになった。これは、標準的な非臨界弦モデルに存在しない新しい特徴である。
• CDTハミルトニアンのエネルギー準位は $ E_n = \sqrt{c_1\Lambda}(2n + \mu + 1) $ であり、固有関数は重合超幾何関数で表現される。
• モデルの正確な解と伝播関数は、$ \mu = c_1 = 1 $ のとき、円形境界条件をもつ「未マーク」2次元CDTモデルと一致し、既知の結果と整合性を確認した。