[論文レビュー] A characterization of spaces with discrete topological fundamental group

Paul Fabel|ArXiv.org|Feb 11, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所的に道に区分け可能な距離空間が、局所的に単連結であるための必要十分条件であると主張する文献における誤った定理を是正する。元の定理は局所的に道に区分け可能でない場合に失敗することを示す反例を提示し、この追加仮定のもとで、同値性が成立することを確立する：位相的基本群が離散的であるのは、空間が局所的に単連結であるときである。

ABSTRACT

We offer a counterexample to a theorem in the literature and then repair the theorem as follows: The fundamental group of a locally path connected metric space inherits the discrete topology in a natural way if and only if the underlying space is semilocally simply connected.

研究の動機と目的

• 出版済みの定理（定理5.1 [1]）に存在する誤りを特定・是正すること：空間の位相的基本群が離散的であることと、それが局所的に単連結であることとは同値であると主張している。
• 局所的に道に区分け可能でない状況で元の定理が成立しないことを示す反例を構成すること。
• 局所的に道に区分け可能な追加仮定のもとで、位相的基本群が離散的である空間の修正された特徴付けを確立すること。
• 基本群が離散位相を引き継ぐための位相的およびホモトピー的条件を明確にすること。

提案手法

• 基点付きのループ空間 $C_p(X)$ における一様収束の位相を用いて、位相的基本群 $\pi_1(X,p)$ への商位相を定義する。
• 商写像 $q: C_p(X) \to \pi_1(X,p)$ を適用し、基本群における開集合を $C_p(X)$ のループ成分の開性に翻訳する。
• 局所的に道に区分け可能であることを利用して、ループの像内の点の小さな近傍が短い接続路をもつことを保証する。
• 局所的に単連結であることの条件を用いて、小さなループがホモトピー的に零であることを保証し、一様に近いループの間のホモトピーの構成を可能にする。
• ループ列の等連続性と局所的に道に区分け可能な性質、および小さな近傍における零ホモトピー的ループを組み合わせて、近接するループの間の明示的ホモトピーを構築する。
• 位相的群としての $\pi_1(X,p)$ の性質を応用し、証明を単位元が開集合であることを示すことに帰着させる。同次性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で空間の位相的基本群が離散的になるか？
• RQ2 元の定理5.1 [1] が失敗する理由は何か？欠落している仮定は何か？
• RQ3 空間が局所的に単連結であるが、位相的基本群が非離散的であることはあり得るか？
• RQ4 局所的に道に区分け可能であることの仮定があれば、局所的に単連結性と位相的基本群の離散性との同値性が回復するか？
• RQ5 局所的に道に区分け可能でない空間の例で、位相的基本群が離散的であるものは存在するか？

主な発見

• 元の定理5.1 [1] は誤りである：例1に示すように、局所的に単連結であるが、その位相的基本群が非離散的な空間が存在する。
• 例1は、局所的に単連結であるが、定数ループの成分が開でない空間 $X$ を構成しており、したがって $\pi_1(X,p)$ は非離散的である。
• 局所的に道に区分け可能な仮定を追加すると、$\pi_1(X,p)$ が離散的であることと、$X$ が $p$ で局所的に単連結であることとは同値になる。
• 証明は、小さなパスと小さな近傍における零ホモトピー的ループを用いて、一様に近いループの間のホモトピーを構築することに依拠している。
• 例1の空間のコーンは単連結であり、したがって離散的である基本群を持つが、局所的に道に区分け可能でない。
• $S^1 \times S^1 \times \cdots$ の基本群は完全に分離的であるが、局所的に単連結ではないため、完全に分離的であっても局所的に単連結とは限らない。