[論文レビュー] A class of non-holomorphic modular forms III: real analytic cusp forms for $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2017

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ひとこと要約

本稿は、整数重のHecke固有形式に関連するSL₂(ℤ)の正則実解析的尖点形式を構成し、実解析的イーゼンスタイン級数の一般化を行う。モックモジュラー形式が、周期行列の正規化された永久小数ρを用いて係数が$ n^{1-k}(a_n' + \rho a_n) $に比例する代数幾何的対象として現れることを確立し、レベル1の固有形式に対する弱調和上への存在を解決する。

ABSTRACT

We define canonical real analytic versions of modular forms of integral weight for the full modular group, generalising real analytic Eisenstein series. They are harmonic Maass waveforms with poles at the cusp, whose Fourier coefficients involve periods and quasi-periods of cusp forms, which are conjecturally transcendental. In particular, we settle the question of finding explicit `weak harmonic lifts' for every eigenform of integral weight $k$ and level one. We show that mock modular forms of integral weight are algebro-geometric and have Fourier coefficients proportional to $n^{1-k}(a'_n + ρa_n)$ for $n eq 0$, where $ρ$ is the normalised permanent of the period matrix of the corresponding motive, and $a_n, a'_n$ are the Fourier coefficients of a Hecke eigenform and a weakly holomorphic Hecke eigenform, respectively. More generally, this framework provides a conceptual explanation for the algebraicity of the coefficients of mock modular forms in the CM case.

研究の動機と目的

• SL₂(ℤ)の整数重のHecke固有形式に関連する正則実解析的尖点形式を構成すること。
• レベル1の整数重のHecke固有形式に対する弱調和上への存在を解決すること。
• CMの場合におけるモックモジュラー形式係数の代数的性の概念的説明を提供すること。
• 単価値自己同型を介して、モックモジュラー形式のフーリエ係数と尖点形式の周期・準周期との間にリンクを確立すること。
• 実解析的モジュラー形式とマッズウェーブフォームの重なりが、構築された尖点形式によって完全に記述されることを示すこと。

提案手法

• コhomology上の実フロベニウス（複素共役）を用いて、Hecke固有形式の正則実解析的上への標準的持ち上げとして、実解析的尖点形式$ \mathcal{H}(f)_{r,s} $を構成する。
• モジュラー形式に作用する単価値自己同型$ \mathbf{s} $を、$ M_{n+2}^! $に持ち上げることで、標準的代表元を定義する。
• 分解$ M_{n+2}^! = D^{n+1}M_{-n}^! \oplus M_{n+2}^!/D^{n+1}M_{-n}^! $を用いて、構成における一意性を保証する。
• 実解析的イーゼンスタイン級数と類似する微分方程式を$ \mathcal{H}(f)_{r,s} $に対して導出する。ここで、$ \partial $および$ \overline{\partial} $作用素を含む。
• Bettiおよびde Rhamコホモロジーを用いて、$ \Delta \in S_{12} $の周期行列と単価値周期行列を明示的に計算する。
• モックモジュラー形式のフーリエ係数を$ \alpha + \sum_n \frac{\sigma a_n' + \tau a_n}{n^{11}} q^n $として導出する。ここで$ \sigma, \tau $は単価値自己同型から得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL₂(ℤ)の整数重・レベル1のHecke固有形式すべてに対して、正則実解析的尖点形式を標準的に構成できるか。
• RQ2 モックモジュラー形式のフーリエ係数は、尖点形式の周期および準周期とどのように関係しているか。
• RQ3 単価値自己同型は、弱調和上への構成およびモックモジュラー形式係数の代数的性の説明において果たす役割は何か。
• RQ4 構築された尖点形式は、$ \mathcal{M}^{!} $におけるラプラシアンの固有関数の空間をどの程度まで張るか。
• RQ5 この枠組みは、モチーフ的周期を用いて、CMの場合におけるモックモジュラー形式係数の代数的性を説明できるか。

主な発見

• 正則実解析的尖点形式$ \mathcal{H}(f)_{r,s} $は、実解析的イーゼンスタイン級数に類似した微分方程式を満たすHecke固有形式の標準的持ち上げとして構成された。
• $ \Delta \in S_{12} $に対して、単価値自己同型は$ \mathbf{s}(\Delta) = \sigma \Delta' + \tau \Delta $をもたらし、$ \sigma \approx -0.35207 $、$ \tau \approx -648.84093 $、$ \rho = \tau / \sigma \approx 1842.8947269 $となる。
• モックモジュラー形式$ M_{\Delta} $のフーリエ係数は、$ n^{-11}(a_n' + \rho a_n) $に比例し、Onoの公式と高い数値的精度で一致する。
• モックモジュラー形式の定数項は$ \alpha = \frac{7! \cdot 13}{691} \cdot \frac{10!}{2^{11}} \sigma $であり、分母691は合同式$ \Delta \equiv \mathbb{G}_{12} \pmod{691} $に由来する。
• ΔのPeterssonノルムは$ \approx 0.00000103536205 $として計算され、正値性および既知の値と整合することが確認された。
• 行列式条件$ \det\begin{pmatrix} \eta^+ & \omega^+ \\ i\eta^- & i\omega^- \end{pmatrix} = 10! \cdot (2\pi i)^{11} $が数値的に検証され、周期行列の構造が裏付けられた。