[論文レビュー] A classification of radial and totally geodesic ends of properly convex real projective orbifolds

Suhyoung Choi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 64被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、強い非可約性および適切に凸な実射影 $n$ 次元の軌道体において、ホロノミー表現の固有値条件を分析することで、径方向および完全測地的端を分類する。アフィン多様体、平坦ローレンツ幾何、リーマン的フォリエーションの技術を用い、適切な条件下で、唯一の端の型はレンズ型または水平面型であることを証明し、このような端の完全な位相的および力学的分類を確立する。

ABSTRACT

Real projective structures on $n$-orbifolds are useful in understanding the space of representations of discrete groups into $SL(n+1, \mathbb{R})$ or $PGL(n+1, \mathbb{R})$. A recent work shows that many hyperbolic manifolds deform to manifolds with such structures not projectively equivalent to the original ones. The purpose of this paper is to understand the structures of ends of real projective $n$-dimensional orbifolds. In particular, these have the radial or totally geodesic ends. Hyperbolic manifolds with cusps and hyper-ideal ends are examples. For this, we will study the natural conditions on eigenvalues of holonomy representations of ends when these ends are manageably understandable. The main techniques are the theory of Fried and Goldman on affine manifolds, a generalization of the work of Goldman, Labourie, and Margulis on flat Lorentzian $3$-manifolds and the work on Riemannian foliations by Molino, Carrière, and so on. We will show that only the radial or totally geodesic ends of lens type or horospherical ends exist for strongly irreducible properly convex real projective orbifolds under the suitable conditions.

研究の動機と目的

• 強い非可約性および適切に凸な実射影 $n$-軌道体における径方向および完全測地的端の種別を分類すること。
• ホロノミー表現を用いて、実射影軌道体における端の幾何的および力学的構造を理解すること。
• ホロノミー群の均一な中央固有値条件のもとで、レンズ型または水平面型の端がどのような条件下で生じるかを特定すること。
• 双曲的およびアフィン幾何の結果を、より広範な軌道体上の実射影構造へと拡張すること。
• \mathbb{S}^n$ における不変凸領域およびその境界を用いて、端の位相的および幾何的特徴付けを提供すること。

提案手法

• ホロノミー表現の固有値条件、特に均一な中央固有値条件を用いて、軌道体の端の分析を行う。
• FriedおよびGoldmanのアフィン多様体理論を応用し、実射影構造における端の幾何を研究する。
• Goldman、Labourie、Margulisの平坦ローレンツ3次元多様体に関する技術を、高次元の実射影軌道体へ一般化する。
• MolinoおよびCarrièreのリーマン的フォリエーション理論を用いて、無限遠境界および端の挙動の構造を分析する。
• 無限遠境界 $\Omega$ を含む不変凸領域 $L \subset \mathbb{S}^n$ を構成し、レンズ型の近傍を形成する。
• ヒルベルト距離およびチューブ近傍の議論を適用し、$V/\Gamma$ 内の $\Omega/\Gamma$ の厳密に凸なコンパクト近傍 $W'$ の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い非可約性および適切に凸な実射影 $n$-軌道体において、径方向または完全測地的端のどの種別が生じ得るか。
• RQ2 ホロノミー表現の固有値条件がどのようなものであるとき、レンズ型または水平面型の端が生じるか。
• RQ3 $\Gamma$-不変で、$\Omega$ を含み、境界が厳密に凸であるような $\mathbb{S}^n$ 内の開領域 $L$ を構成できるか。
• RQ4 $\partial\Omega$ における漸近的完全測地的超曲面 $h(x)$ は、端の構造をどのように決定するか。
• RQ5 反対点写像および開半球面の交わりが、$\Omega$ の凸近傍を構成する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 均一な中央固有値条件の下で、強い非可約性および適切に凸な実射影軌道体において、レンズ型または水平面型の端しか存在しない。
• $\partial\Omega$ の各点 $x$ に対して、一意に定まる漸近的完全測地的超曲面 $h(x)$ が存在し、写像 $x \mapsto h(x)$ は連続的である。
• $\Gamma$-不変で、境界が厳密に凸である開領域 $L \subset \mathbb{S}^n$ が存在し、$\Omega$ を含み、$\Omega$ の片側近傍に含まれる。この領域はレンズ型近傍を形成する。
• 構成された領域 $W'$ の境界は厳密に凸であり、コンパクト商 $\Omega/\Gamma$ から正の距離をとるため、チューブ近傍のコンパクト性が保証される。
• 初期領域 $V = \bigcap_{x \in \partial\Omega} H'(x)$ が適切に凸でない場合、$\overline{\Omega}$ を含む開半球面の交わりを用いて、新たな $\Gamma$-不変で適切に凸な領域を構成できる。
• $V/\Gamma$ 内の $\Omega/\Gamma$ のコンパクトチューブ近傍 $M$ の存在は、$\Omega/\Gamma$ から $\partial M/\Gamma$ までの正の距離を意味し、厳密に凸な $W'$ の構成を可能にする。