[論文レビュー] A cocategorical obstruction to tensor products of Gray-categories

John Bourke, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、グレイ・カテゴリの圏に良好に振る舞うモノイダル双閉構造が存在しないことを確立している。主な理由は、中央4つの交換則の不成立に起因する。また、グレイ・カテゴリのモデル圏がモノイダルモデル圏になれないことを証明しており、グレイ・テンソル積の高次元一般化が阻害されることを示している。

ABSTRACT

It was argued by Crans that it is too much to ask that the category of Gray-categories admit a well behaved monoidal biclosed structure. We make this precise by establishing undesirable properties that any such monoidal biclosed structure must have. In particular we show that there does not exist any tensor product making the model category of Gray-categories into a monoidal model category.

研究の動機と目的

• 2-圏におけるグレイ・テンソル積に類似したモノイダル双閉構造がグレイ・カテゴリの圏に存在するかどうかを調査すること。
• そのような構造が弱変換および整合性のある高次モルフィズムをサポートできるかどうかを特定すること。
• グレイ・カテゴリのモデル圏がモノイダルモデル圏にできるかどうかを検討すること。
• 高次元の圏における中央4つの交換則の不成立に起因する障害を明確にすること。

提案手法

• グレイ・カテゴリの圏における潜在的なテンソル積を分析するために、圏的双対性と余圏的推論を用いる。
• デイの技法を用いて、偶数立方体によって生成される $\omega$-圏の部分圏に沿ってモノイダル構造を拡張する。
• $O(I^2)$ 上の二重余圏構造を分析し、グレイ・カテゴリの文脈において中央4つの交換則公理を満たさないことを示す。
• 任意の双閉テンソル積が $O(I^2)$ 上の二重余圏構造を要請するが、その整合性の不成立により、これは不可能であることを示す。
• 標準的な余圏 $\beta$ が、中央4つの交換則が不成立である場合、$\mathbf{Cat}$ においては $\mathcal{V}_2$-Cat に上に持ち上げられないという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレイ・カテゴリの圏に、弱変換をサポートするようなモノイダル双閉構造を定義できるか？
• RQ2 デイの拡張技法を用いて、グレイ・テンソル積の構成を高次元に拡張することは可能か？
• RQ3 グレイ・カテゴリにおいて中央4つの交換則が不成立であることが、モノイダルモデル圏構造の存在を妨げるか？
• RQ4 グレイ・カテゴリの文脈において、水平および垂直の余圏構造を両方尊重する $O(I^2)$ 上の二重余圏構造を構成できるか？

主な発見

• 弱変換のための所望の整合性性質を満たすグレイ・カテゴリの圏にモノイダル双閉構造は存在しない。
• 中央4つの交換則の障害により、グレイ・カテゴリのモデル圏はモノイダルモデル圏構造を備えられないと判明した。
• 任意のテンソル積が要請する $O(I^2)$ 上の二重余圏構造は、中央4つの交換則を満たさず、したがって不適切である。
• 根本的な障害は、厳密な中央4つの交換則が成立しない状況下での整合性の不成立に起因するが、デイの方法による拡張でも同様の問題が生じる。
• この結果はドーランの反論を高次元に一般化し、同様の不成立が $\mathcal{V}_2$-Cat における双閉テンソル積の存在を妨げることを示している。