[論文レビュー] A Compact Representation for Modular Semilattices and its Applications

Hiroshi Hirai, So Nakashima|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分配的ラティスおよびモジュラー・ラティスのBirkhoff型定理を一般化し、モジュラー半ラティスのコンパクトなPPIP（不一致対を伴う射影的順序集合）表現を導入する。これは$Θ(n)$の複雑度を持つ表現を確立し、最適な含意的基底を用いた多項式時間認識アルゴリズムを提供することで、これらの構造上の単調関数の最小化集合の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

A modular semilattice is a semilattice generalization of a modular lattice. We establish a Birkhoff-type representation theorem for modular semilattices, which says that every modular semilattice is isomorphic to the family of ideals in a certain poset with additional relations.This new poset structure, which we axiomatize in this paper, is called a PPIP (projective poset with inconsistent pairs). A PPIP is a common generalization of a PIP (poset with inconsistent pairs) and a projective ordered space. The former was introduced by Barthélemy and Constantin for establishing Birkhoff-type theorem for median semilattices, and the latter by Herrmann, Pickering, and Roddy for modular lattices. We show the $Θ(n)$ representation complexityand a construction algorithm for PPIP-representations of $(\wedge, \vee)$-closed sets in the product $L^n$ of modular semilattice $L$. This generalizes the results of Hirai and Oki for a special median semilattice $S_k$. We also investigate implicational bases for modular semilattices. Extending earlier results of Wild and Herrmann for modular lattices, we determine optimal implicational bases and develop a polynomial time recognition algorithm for modular semilattices. These results can be applied to retain the minimizer set of a submodular function on a modular semilattice.

研究の動機と目的

• 分配的ラティスおよびモジュラー・ラティスのBirkhoff型表現定理をモジュラー半ラティスへ一般化すること。
• モジュラー半ラティス$L$の$L^n$における$(\wedge,\vee)$-閉集合のコンパクトで効率的な表現を開発すること。
• 含意的基底を用いた多項式時間認識アルゴリズムを、モジュラー半ラティスの認識に確立すること。
• このフレームワークを、有限体上の分割行列のDulmage-Mendelsohn分解の計算に応用すること。

提案手法

• PPIP（不一致対を伴う射影的順序集合）を、PIPと射影的順序空間の共通の一般化として導入し、モジュラー半ラティスの表現に用いる。
• 任意のモジュラー半ラティスがPPIPにおけるイデアルの族に同型であることを示し、このクラスに対するBirkhoff型表現定理を確立する。
• $L^n$における$(\wedge,\vee)$-閉集合のPPIP表現の構成アルゴリズムを開発し、$\Theta(n)$の表現複雑度を達成する。
• 射影的順序空間の公理とHorn論理式理論を用いて、モジュラー半ラティスの最適な含意的基底を確立する。
• PPIP表現における一貫部分空間の最大鎖を構成するための貪欲法を設計する。
• フレームワークを行列の消滅部分空間問題（MVSP）に応用し、これをモジュラー半ラティス上の単調関数の最小化問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分配的ラティスおよびモジュラー・ラティスのBirkhoff型表現定理を、モジュラー半ラティスへ一般化できるか？
• RQ2 $L^n$におけるモジュラー半ラティス$L$の$(\wedge,\vee)$-閉集合の最小表現複雑度は何か？
• RQ3 モジュラー半ラティスに対して最適な含意的基底を特定でき、かつそれらの認識に多項式時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 PPIP表現を用いて、有限体上の分割行列のDulmage-Mendelsohn分解を計算できるか？
• RQ5 モジュラー半ラティス上の単調関数の最小化集合を、コンパクトに表現し、効率的に計算できるか？

主な発見

• 任意のモジュラー半ラティスはPPIPにおけるイデアルの族に同型であり、このクラスに対するBirkhoff型表現定理が確立される。
• $L^n$における$(\wedge,\vee)$-閉集合の表現複雑度は$\Theta(n)$であり、$S_k^n$に対する以前の結果を一般化する。
• モジュラー半ラティスの最適な含意的基底は、$\vee$-非可約元上の含意によって与えられた場合に多項式時間で計算可能である。
• 閉包系がモジュラー半ラティスであるかどうかを判定する多項式時間認識アルゴリズムが開発された。
• 有限体上の分割行列のDM分解は、$m$、$n$、および$\mathbf{F}^\gamma$の部分空間の数に関して、$m$、$n$、$\gamma$の多項式時間で計算可能である（ここで$\gamma$は部分行列の最大次元）。
• 本フレームワークは、$\mathrm{GF}(2)$上の$6\times6$行列のDM分解を実際に計算し、明示的なPPIP構成と最大鎖の生成を含む具体的な例で手法の有効性を示した。