[論文レビュー] A conjectural connection between R^*(C_g^n) and R^*(M_{g,n}^rt)

Mehdi Tavakol|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな$g$次曲線に$n$個の順序付き点（重複を許す）を持つモジュライ空間$\mathcal{C}_g^n$と、有理尾を持つ安定$n$点付き曲線のモジュライ空間$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$の間の同型的関係についての予想を提示する。この予想の類似を、タウトロジカルな環のゴレンシュタイン商について証明し、$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$のタウトロジカルな環が次数$g-2+n$で1次元であり、それより高い次数では消えることを示している。この結果は、ルージエンジャとファーバーの結果に基づいている。

ABSTRACT

Let M_{g,n}^rt be the moduli space of stable n-pointed curves of genus g>1 with rational tails. We also consider the space C_g^n classifying smooth curves of genus g with not necessarily distinct n ordered points. There is a natural proper map from M_{g,n}^rt to C_g^n which contracts all rational components. Tautological classes on these spaces are natural algebraic cycles reflecting the geometry of curves. In this short note we study the connection between tautological classes on M_{g,n}^rt and C_g^n. We show that there is a natural filtration on the tautological ring of M_{g,n}^rt consisting of g-2+n steps. A conjectural dictionary between tautological relations on M_{g,n}^rt and C_g^n is presented. Our conjecture predicts that the space of relations in R^*(M_{g,n}^rt) is generated by relations in R^*(C_g^n) together with a class of relations obtained from the geometry of blow-ups. This conjecture is equivalent to the the independence of certain tautological classes in Chow. We prove the analogue version of our conjecture for the Gorenstein quotients of tautological rings.

研究の動機と目的

• 代数幾何学における2つの重要なモジュライ空間、$\mathcal{C}_g^n$と$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$の間のタウトロジカル関係に関する予想的対応を確立すること。
• 特にそのフィルトレーションと消える性質を含む、$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$上のタウトロジカル環の構造を分析すること。
• これらのタウトロジカル環のゴレンシュタイン商について、予想の類似を証明すること。
• 押し出し写像と制限写像を通じて、$\mathcal{C}_g^n$と$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$上のタウトロジカル類の関係を明確にすること。
• ルージエンジャとファーバーによる$\mathcal{C}_g^n$に関する既知の結果と、$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$のタウトロジカル構造を結びつけること。

提案手法

• タウトロジカル環$R^*(\mathcal{C}_g^n)$と$R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$を、$\kappa_i$クラス、$K_i$クラス、$d_{i,j}$クラス、境界 divisor $D_I$ によって生成されるチャウ環の部分代数として定義する。
• $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$上の自然なフィルトレーションを、有理尾の数と特別な点の数に基づき、長さ$g-2+n$のものとして構成する。
• 写像$p: \mathcal{M}_{g,n}^{rt} \to \mathcal{C}_g^n$を用いて、押し出しと制限を通じてタウトロジカルクラスを関連付ける。
• ルージエンジャの$\mathcal{C}_g^n$における消える性質の結果とファーバーの結果を適用し、$R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$の構造を導出する。
• 単項式のグラフ構造と$D_I$クラスにおける消える関係に基づく帰納法を用いて、ゴレンシュタイン商についての予想的辞書を証明する。
• $g-2+n$次元の標準単項式を分析し、非消えるためには非自明なグラフ的構造が存在してはならないことを示し、その次数での環が1次元であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{C}_g^n$と$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$におけるタウトロジカル関係の正確な関係は何か？
• RQ2 $\mathcal{C}_g^n$と$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$におけるタウトロジカル関係の間の辞書を、既知の結果を一般化する形で定式化できるか？
• RQ3 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$のタウトロジカル環は$g-2+n$より高い次数で消えるのか？また、$g-2+n$次元で1次元なのか？
• RQ4 予想的辞書のもとで、$\mathcal{C}_g^n$と$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$のタウトロジカル環のゴレンシュタイン商どうしの関係は何か？
• RQ5 ピクストンの$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$におけるタウトロジカル関係が、提案された対応を通じて$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$および$\mathcal{C}_g^n$における関係と結びつけられるか？

主な発見

• $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$のタウトロジカル群は、次数$g-2+n$で1次元であり、それより高い次数では消える。
• タウトロジカル関係の予想的辞書は、タウトロジカル環のゴレンシュタイン商について成立する。
• $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$の構造は、ルージエンジャの$\mathcal{C}_g^n$における消える定理と、ファーバーの$\mathcal{C}_g^n$のタウトロジカル環に関する結果に基づく。
• $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$上の次数$g-2+n$の標準単項式は、$\mathcal{C}_g^n$上のクラスの引き戻しによって生じる必要があり、非自明な境界寄与は存在しないことを示す。
• $\mathcal{C}_g^n$における$i > g-2$の$\kappa_i$の消える性質は、収縮写像を通じて$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$に対しても同様に成り立つ。
• 証明は、単項式の関係をグラフ構造で分析し、$D_I$クラスと$d_{i,j}$クラスの積における消える性質を用いる。その結果、トップ次数で非ゼロクラスを生じるのは、自明なグラフ構造に限ることが示された。