[論文レビュー] A constructive commutative quantum Lovasz Local Lemma, and beyond

Toby S. Cubitt, Martin Schwarz|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、可換な量子Lovász局所補題（QLLL）の構成的量子アルゴリズムを提示し、弱く依存する部分空間制約を満たす量子状態を効率的に見つけることができることを証明している。量子カップリングと組合せ的解析の2つの独立した証明を提供し、可換QLLLに対する最初の効率的アルゴリズムを確立しており、量子チャネルの収束や非可換ケースへの一般化の予想への応用を含む。

ABSTRACT

The recently proven Quantum Lovasz Local Lemma generalises the well-known Lovasz Local Lemma. It states that, if a collection of subspace constraints are "weakly dependent", there necessarily exists a state satisfying all constraints. It implies e.g. that certain instances of the kQSAT quantum satisfiability problem are necessarily satisfiable, or that many-body systems with "not too many" interactions are always frustration-free. However, the QLLL only asserts existence; it says nothing about how to find the state. Inspired by Moser's breakthrough classical results, we present a constructive version of the QLLL in the setting of commuting constraints, proving that a simple quantum algorithm converges efficiently to the required state. In fact, we provide two different proofs, one using a novel quantum coupling argument, the other a more explicit combinatorial analysis. Both proofs are independent of the QLLL. So these results also provide independent, constructive proofs of the commutative QLLL itself, but strengthen it significantly by giving an efficient algorithm for finding the state whose existence is asserted by the QLLL. We give an application of the constructive commutative QLLL to convergence of CP maps. We also extend these results to the non-commutative setting. However, our proof of the general constructive QLLL relies on a conjecture which we are only able to prove in special cases.

研究の動機と目的

• 可換な量子Lovász局所補題の構成的証明を提供し、存在性の枠を超えて効率的な状態準備を実現すること。
• 弱く依存する部分空間制約を満たす量子状態を効率的に見つける量子アルゴリズムを開発すること。
• 量子ウィtnessツリーとアルゴリズムの収束の関係を確立し、古典的Moser型アルゴリズムを量子設定に一般化すること。
• 非可換制約への構成的アプローチを拡張し、未解決の一般化に関する予想に依存すること。
• 構成的QLLLを、量子ダイナミクスにおける完全正則（CP）写像の収束時間の評価に応用すること。

提案手法

• アルゴリズム的プロセスにおける依存関係と違反を追跡するための量子ウィtnessツリーを導入する。
• 量子カップリングの議論を用いてウィtnessツリーの確率を抑え、アルゴリズムの収束を保証する。
• 量子状態のコherーを保つ再サンプリングルールを備えた新しい反復測定プロセスを構築する。
• アルゴリズムの実行経路をモデル化するため、再サンプリングDAG（有向無閉路グラフ）の組合せ的解析を適用する。
• 期待違反回数をアルゴリズム実行時間の代理として用い、可換条件のもとで多項式的バウンドを証明する。
• 量子情報理論的境界に依存するウィtnessツリー確率に関する予想を通じて、非可換制約への一般化を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な部分空間制約を満たす量子状態を、QLLLが主張するように、構成的量子アルゴリズムで効率的に見つけられるか。
• RQ2 そのようなアルゴリズムの期待実行時間は何か。また、制約数に対して多項式的バウンドが得られるか。
• RQ3 ウィtnessツリーと再サンプリングといった古典的アルゴリズム技法を、どのように量子設定に一般化できるか。
• RQ4 構成的QLLLを非可換制約へどの程度まで拡張できるか。どのような仮定が必要か。
• RQ5 構成的QLLLを、量子ダイナミカルマップ（CPマップ）の収束時間の評価に応用できるか。

主な発見

• 可換な部分空間の共通部分に存在する量子状態を、QLLL条件のもとで多項式的時間で効率的に見つける構成的量子アルゴリズムが提示された。
• 可換QLLL条件のもとで、アルゴリズムにおける期待違反回数が定数で抑えられることを示し、効率的な収束を証明した。
• 2つの独立した証明が与えられた：1つは量子カップリングの議論、もう1つは再サンプリングDAGの組合せ的解析であり、両者とも同じ構成的結果をもたらした。
• 制約数が多項式的を超える場合でも、アルゴリズムが期待多項式時間で解に収束することを示し、古典的結果を量子設定に一般化した。
• 構成的QLLLがCPマップの収束時間の評価に応用され、量子ダイナミカルシステムにおける新たな応用を示した。
• 非可換ケースに対しては、ウィtnessツリー確率とアルゴリズム収束を結びつける予想を提示した。真であれば、一般の構成的QLLLが得られるが、一般には未解決のままである。