[論文レビュー] A convex data-driven approach for nonlinear control synthesis

Hyungjin Choi, Umesh Vaidya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、密度関数に基づく安定性証明（リャプノフ関数の双対）を用いて、非線形制御設計のための凸でデータ駆動型のアプローチを提案する。コプマン作用素理論と和の乗数（SOS）最適化を活用することで、サンプル軌道から安定化制御則と安定性証明を同時に設計する凸問題を定式化し、多項式制御則を用いて非多項式的・カオス的系（ローレンツアトラクタや剛体運動）を成功裏に安定化した。

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear control synthesis problems where the underlying mathematical models are not explicitly known. We propose a data-driven approach to stabilize the systems when only sample trajectories of the dynamics are accessible. Our method is founded on the density function based almost everywhere stability certificate that is dual to the Lyapunov function for dynamic systems. Unlike Lyapunov based methods, density functions lead to a convex formulation for a joint search of the control strategy and the stability certificate. This type of convex problem can be solved efficiently by invoking the machinery of the sum of squares (SOS). For the data-driven part, we exploit the fact that the duality results in the stability theory of the dynamical system can be understood using linear Perron-Frobenius and Koopman operators. This connection allows us to use data-driven methods developed to approximate these operators combined with the SOS techniques for the convex formulation of control synthesis. The efficacy of the proposed approach is demonstrated through several examples.

研究の動機と目的

• 非線形系の基礎的数理モデルが未知である状況において、データ駆動型制御設計のための体系的フレームワークを構築すること。
• 従来のリャプノフベースの手法で非凸となる、非線形系における制御則と安定性証明の共同設計の課題に取り組むこと。
• 密度関数とリャプノフ関数の双対性を活用し、制御設計における凸最適化を実現すること。
• データ駆動型コプマン作用素近似と和の乗数（SOS）技術を統合し、スケーラブルで効率的な制御則設計を実現すること。
• ベンチマーク非線形系（ローレンツ系や剛体運動）に対して、本手法の有効性を実証すること。低精度のモデル要件で動作可能である。

提案手法

• 本手法は、リャプノフ関数の双対として、ほとんど everywhere にわたる安定性証明としての密度関数を用い、制御則と証明の共同探索を凸に定式化する。
• 和の乗数（SOS）技術を用いて多項式上での凸最適化として制御設計問題を定式化し、半正定値計画法により解ける。
• 非線形ダイナミクスをリフト空間における線形表現に写像するため、コプマン作用素フレームワークを用いる。これにより、拡張動的モード分解（EDMD）によるデータ駆動型近似が可能になる。
• コプマン作用素の双対であるペロン＝フロベニウス（P-F）作用素は、時系列データから近似され、制御入力下での確率密度の時間発展をモデル化する。
• EDMDに基づくP-F作用素近似とSOSに基づく凸最適化を組み合わせ、サンプル軌道から多項式制御則を合成する。
• 制御則と安定性証明のための多項式基底関数を選択し、P-F作用素のダイナミクスから導かれる凸制約の下でパラメータを最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 システムモデルが未知であるが、サンプル軌道が利用可能である状況において、非線形制御設計のための凸最適化フレームワークを開発可能か？
• RQ2 密度関数とリャプノフ関数の双対性を活用することで、制御則と安定性証明の共同設計における凸性をどのように達成できるか？
• RQ3 データ駆動型コプマン作用素およびペロン＝フロベニウス作用素近似は、非線形系の制御設計にどの程度有効に機能するか？
• RQ4 本手法は、低精度のモデルで動作するとしても、カオス的ローレンツアトラクタや高次元の剛体運動といった複雑な非線形系を安定化できるか？
• RQ5 非多項式的ダイナミクスを有する系に適用した場合、得られる制御則の収束性とロバストネスはどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 提案手法は、立方多項式制御則 $ u(x) = 0.1553x_1^3 - 1.9884x_1 $ を用いて、非多項式的振り子系を、多様な初期条件から漸近的安定化に成功した。
• ローレンツ系（$ \rho=28 $）に対して、線形制御則 $ u(x) = -26.9591x_1 - 6x_2 $ を合成し、原点へのカオス的軌道の安定化に効果的に寄与した。
• 6状態・3入力の剛体制御系は、1次〜3次多項式制御則を用いて安定化され、高次元系へのスケーラビリティを示した。
• すべてのテストケースにおいて、合成制御則下の軌道は平衡点に収束したが、オープンループダイナミクスではカオス的または不安定な振るまいを示した。
• わずか $ 10^4 $ データポイントと低次の多項式基底関数のみで信頼性の高い安定化が達成された。これは、低精度のモデル要件を満たしていることを示している。
• 凸定式化によりSOSソルバーによる効率的解法が可能となり、中程度次元のシステムに対しても計算的実行可能性が確認された。