[論文レビュー] A Darling-Erd\H{o}s-type CUSUM-procedure for functional data II

Leonid Torgovitski|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、短記憶的自己回帰性を仮定した関数データに対して、ダーリング＝エルデシュ型CUSUM手順を拡張し、長期間的関数主成分（long-run FPCs）を用いて次元削減を行う。$L^\kappa$-$m$-近似可能性の下で漸近的理論を確立し、変化点推定値を導出。シミュレーションおよび実電力データを用いた検証により、中程度の自己相関下でも安定した性能を示す。

ABSTRACT

This article considers testing for mean-level shifts in functional data. The class of the famous Darling-Erd\\H{o}s-type cumulative sums (CUSUM) procedures is extended to functional time series under short range dependence conditions which are satisfied by functional analogues of many popular time series models including the linear functional AR and the non-linear functional ARCH. We follow a data driven, projection-based approach where the lower-dimensional subspace is determined by (long run) functional principal components which are eigenfunctions of the long run covariance operator. This second-order structure is generally unknown and estimation is crucial - it plays an even more important role than in the classical univariate setup because it generates the finite-dimensional subspaces. We discuss suitable estimates and demonstrate empirically that altogether this change-point procedure performs well under moderate temporal dependence. Moreover, Darling-Erd\\H{o}s-type change-point estimates based on (long run) functional principal components as well as the corresponding "fully-functional" counterparts are provided and the testing procedure is finally applied to publicly accessible electricity data from a German power company.

研究の動機と目的

• 弱依存性の下で関数時系列に対する変化点検出手順を開発し、古典的ダーリング＝エルデシュ漸近理論を関数的設定に拡張すること。
• パワーと安定性を向上させるため、データ駆動型かつ射影ベースの次元削減手法として長期間的関数主成分（FPCs）を組み込むこと。
• 関数的自己回帰（AR）および自己回帰条件付き異方性（ARCH）プロセスを含む、一般の弱依存性フレームワークである$L^\kappa$-$m$-近似可能なプロセスの下で、CUSUM検定統計量の漸近的分布を確立すること。
• 射影ベースの変化点推定値と完全関数的（fully-functional）推定値を比較し、有限標本下での性能を評価すること。
• モンテカルロシミュレーションおよびドイツの実電力データセット（高頻度電力負荷曲線）を用いて、本手法の実効性を示すこと。

提案手法

• 関数的観測値を、長期間的関数主成分（FPCs）で張られる有限次元部分空間に射影する射影ベースのCUSUM手順を採用する。
• 長期間的共分散作用素の固有関数（長期間的FPCs）を次元削減の基底として用い、弱依存性下での2次モーメント構造を捉える。これらのFPCsはデータから推定され、実用的である。
• $L^\kappa$-$m$-近似可能性の下で、CUSUM検定統計量の漸近的分布を導出。この枠組みは、関数的ARおよびARCHプロセスを含む。
• 長期間的FPC推定量の一致性を確立し、推定された変化点位置の収束速度を導出する。
• カーネル加重付き標本共分散推定量を用いて長期間的共分散作用素を近似し、バンド幅および打ち切りパラメータを慎重に選択する。
• 射影空間における多次元CUSUM過程のダーリング＝エルデシュ極限定理を導出し、次元削減の影響を考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ダーリング＝エルデシュ極限定理は、弱依存性の下で関数データに拡張可能か。特に、平均レベルの変化検出という文脈においてはいかがであろうか。
• RQ2 長期間的関数主成分の使用は、関数時系列におけるCUSUMに基づく変化点検出の性能をどのように向上させるか。
• RQ3 プロセスが$L^\kappa$-$m$-近似可能である場合、CUSUM検定統計量の漸近的性質は何か。また、i.i.d.または$m$-依存設定とはどのように異なるか。
• RQ4 中程度の時間的自己相関下で、射影ベースの変化点推定値と完全関数的推定値の間で、精度およびロバストネスの観点からどの程度差が生じるか。
• RQ5 本手法は、例えば高頻度電力負荷曲線のような実世界の関数的データに対して、どの程度有効に機能するか。

主な発見

• 本稿は、$L^\kappa$-$m$-近似可能性の下で、射影されたCUSUM過程に対するダーリング＝エルデシュ極限定理を確立し、古典的結果を弱依存性を有する関数データに拡張した。
• 推定された変化点位置の収束速度は、$\mathcal{O}_P((h_n/n)^{1/2}h_n + h_n^{-\rho}\sum_{i=1}^{m_n} i^\rho \delta(i) + m_n/\exp(cm_n))$ であり、$m_n = \lfloor(\log n)/c\rfloor$ とすることでバイアスが無視可能になる。
• 長期間的FPC推定量は、$L^\kappa$-$m$-近似可能性フレームワークの下で一貫性を示し、打ち切りレベル $m_n$ が増加するに従い推定誤差が指数関数的に減少する。
• モンテカルロシミュレーションにより、中程度の時間的自己相関下でも本手法の良好な性能が確認され、名目水準に近い実現サイズと、平均値の変化検出に高いパワーを示した。
• ドイツの実電力データへの応用により、検出可能な平均レベルの変化が確認され、本手法の実用的有用性とロバストネスを示した。
• 本稿は、与えられた自己相関構造下で、射影ベース推定値と完全関数的推定値が漸近的に同等であることを示し、次元削減アプローチの妥当性を裏付けた。