[論文レビュー] A Derived Decomposition for Equivariant $D$-modules

Sam Gunningham|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、再帰的リー代数 $\mathfrak{g}$ 上の $G$-同変 $D$-加群の導来圏に対して、Lusztigの意味でのカスピダルデータ $(L,\mathcal{E})$ をインデックスとする直交的分解を確立する。各ブロックを制御する微分的ドメイン代数 $\mathbf{A}$ を構成し、一般化されたシュタイナーベルグ多様体の相対的ボレル＝モアム・ホモロジーから生じる。この代数は非自明なマッケイフィルトレーションを備え、以前の perverse sheaves や正則 $D$-加群に関する結果を一般化する「三重アフィン」ヘッケ代数構造を明らかにする。

ABSTRACT

We show that the adjoint equivariant derived category of $D$-modules on a reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ carries an orthogonal decomposition in to blocks indexed by cuspidal data (in the sense of Lusztig). Each block admits a monadic description in terms a certain monad related to the homology of Steinberg varieties; this monad carries a filtration (the Mackey filtration) whose associated graded functor is given by the action of the relative Weyl group. Furthermore, we show that the Mackey filtration is generally non-split and thus the Springer-theoretic description of the entire equivariant derived category of $D$-modules appears to be substantially more subtle than either the case of the abelian category in earlier work of the author, or the derived category of nilpotent orbital sheaves in work of Rider and Russell. One notable feature of this setting is that the parabolic induction and restriction functors depend on the choice of parabolic subgroup containing a given Levi factor.

研究の動機と目的

• 再帰的リー代数 $\mathfrak{g}$ 上の同変 $D$-加群の導来圏への一般化されたスプリンガー対応を、ノイロットコーン上の可解的層から、完全な導来圏へと拡張すること。
• カスピダルデータをインデックスとするブロック分解を通じて、$\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G$、すなわち $\mathfrak{g}$ 上の係数付き同変 $D$-加群の導来圏の構造を理解すること。
• 既知のアーベル的および可解的ケースの記述を一般化し、各ブロックを制御する微分的ドメイン代数 $\mathbf{A}$ を構成すること。
• グローバルモノイドの代数的構造の複雑さを明確にするために、$L \neq G$ のときマッケイフィルトレーションが分裂しないことを示すこと。

提案手法

• 一般化されたスプリンガー対応とカスピダルデータ $(L,\mathcal{E})$ を用いて、$\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G$ の直交的ブロックをインデックス化する。
• $\mathfrak{D}_{\mathfrak{z}} \boxtimes \mathcal{E}$ のパラボリック誘導の導来自己準同型代数として、dg代数 $\mathbf{A}_{(P,L,\mathcal{E})}$ を構成する。
• $(P,L,\mathcal{E})$ に関連するシュタイナーベルグ型多様体の相対的 $G$-同変ボレル＝モアムホモロジーとして、$\mathbf{A}$ を幾何学的に実現する。
• 相対的ウェイル群 $W_{(G,L)}$ をインデックスとする、$\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}}$-両側加群としてのマッケイフィルトレーションを確立する。
• Barr-Beck-Lurieの定理を適用し、ブロック $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G_{(L,\mathcal{E})}$ が $\mathbf{A}$-加群の完全なモジュールの圏として実現されることを示す。
• マッケイフィルトレーションが $L = G$ でない限り分裂しないことから、アーベル的または可解的ケースを越えた非自明な代数的構造が存在することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\mathfrak{g}$ 上の同変 $D$-加群の導来圏をカスピダルデータをインデックスとするブロックに分解できるか？
• RQ2 同変 $D$-加群の導来圏における各ブロックを支配する代数的構造は何か？
• RQ3 ブロックを制御するモノイドは、シュタイナーベルグ多様体と相対的ウェイル群の幾何とどのように関係するか？
• RQ4 なぜ「三重アフィン」ヘッケ代数という単純な推測は、ブロックの完全な構造を記述できないのか？
• RQ5 マッケイフィルトレーションは、ブロックを制御するモノイドの非分裂性をどのように明らかにするか？

主な発見

• 導来圏 $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G$ は、カスピダルデータ $(L,\mathcal{E})$ をインデックスとする直交的ブロックに分解可能であり、異なるブロックの対象間には $\operatorname{Ext}$-群が存在しない。
• 各ブロック $\mathbf{D}_{\text{coh}}(\mathfrak{g})^G_{(L,\mathcal{E})}$ は、パラボリック誘導と制限から生じるモノイドを制御する微分的ドメイン代数 $\mathbf{A}_{(P,L,\mathcal{E})}$ の完全モジュールの圏と同値である。
• $\mathbf{A}$ は $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}}$-両側加群としてのフィルトレーションを備え、その各層は $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}} \otimes \mathbb{C}[W_{(G,L)}]$ と同型であり、相対的ウェイル群作用を反映する。
• マッケイフィルトレーションは、$L = G$ でない限り $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}}$-両側加群として分裂せず、アーベル的または可解的ケースを超えた非自明な代数的構造を示唆する。
• $L = G$ のとき、dg代数 $\mathbf{A}$ は $\underline{\mathfrak{D}}_{\mathfrak{z}(\mathfrak{g})}$ に退化し、カスピダルケースにおける既知の記述が回復される。
• $\mathbf{A}$ は一般化されたシュタイナーベルグ多様体の相対的ボレル＝モアムホモロジーとして幾何学的に実現され、代数的構造と同変ホモロジー代数の間のリンクを確立する。